等比数列的公式 【数学大师高中】等比数列求和——棋盘上的麦粒

根据历史传说，象棋起源于古代印度。根据传说，国王想奖励象棋的发明者，并问他想要什么。发明人说:请把一粒小麦放在第一格，两粒放在第二格，四粒放在第三格，八粒放在第四格，以此类推，直到最后一格和第64格都满了。、

给我这么多粮食我很满意。国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。然而当小麦成熟后，国王发现全印度的小麦都填不了棋盘一半的格子数。(《第七印》)

现在让我们帮助国王计算一下64格棋盘需要多少粒小麦。其实这是一个几何级数求和问题。棋盘第一格只需要麦粒a1=1，第二格需要麦粒a2=2，第三格a3=4，等等。这些麦粒的数量构成几何级数，第一项a1=1，公比q=2。那么就需要一个64格棋盘上的麦粒总数。

观察比较这两个方程，发现它们有很多相同的指数幂，可以通过两个方程减一来简化。我们用等式2，减去等号左边，2S64-S64，减去等号右边。这些相同的指数幂会被消去，最后剩下的只有264，减1。所以我们可以得到棋盘上的小麦总粒数S64，等于264-1，也就是1

上述计算麦粒的方法适用于任何q不等于1的几何级数之和。几何级数的前n项和Sn，=a1+a2+...+an，我们用a1和q来表示。

错位减法不仅适用于几何级数的求和，更多时候，如果一个数列的一般项形式可以表示为一个等差级数和一个几何级数的乘积，那么前n项之和可以通过错位减法得到。至于几何级数对和平的渴望，他只需要直接设置公式。

远远望去高耸的塔的七楼，红光倍增，一共381盏灯。有几盏灯是尖的？“意思是:一座7层楼的塔楼挂着381盏灯，下一层楼的灯是上一层的两倍，那么塔楼的顶层有多少盏灯？

每个塔上悬挂的灯数呈几何级数，常见比例为q=2。我们在塔顶放了一盏灯。7层塔楼共挂381盏灯，S7=381。根据等比例求和公式，那么a1乘以1-2的7次方，除以1-2，等于381。可以解出a1等于3。尖端必须有3盏灯。

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