初高中数学衔接教材 初升高数学衔接教材PDF打印版

学 海 无 涯 第一讲 数与式 1、 绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 a, a ? 0, | a | ?0, a 0, ?a, a ? 0. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义： 表示在数轴上，数 和数 之间的距离． a ?b b 2、绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式 ①f ?a ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是?a ? f ?a 。 ②f ?a ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f ?a 或f ??a 。 ③ f ?g ?f 2 ?g 2 。 利用零点分段法解含多绝对值不等式： ①找到使多个绝对值等于零的点． ②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式3x ?5 ? 4 的解集 例2.求不等式2x +1 ?5 的解集 例3.求不等式x ?3 ? x +2 的解集 例4.求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3 的解集． 例5.解不等式|x－1|＋|2－x |＞3－x． 例6.已知关于x 的不等式|x－5|＋|x－3|＜a 有解，求a 的取值范围． 解下列含有绝对值的不等式： x ?1 + x ? 3 ＞4+x |x+1| |x －2 | 学 海 无 涯 |x －1|+|2x+1| 4 3x ?2 ?7 5x +7 ?8 3、因式分解 乘法公式 平方差公式 a2 =?b2 完全平方公式 2 a2 =?2ab +b2 立方和公式 2 2 3 3 a =+b 2 2 3 3 立方差公式 a =?b 三数和平方公式 2 a2 =+b2 +c2 +2 3 3 2 2 3 两数和立方公式 a =+3a b +3ab +b 3 3 2 2 3 两数差立方公式 a =?3a b +3ab ?b 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及 待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： 2 2 x －3x＋2； 6x +7x +2 x 2 ?xy +aby 2 ； xy ?1+x ?y ． 2．提取公因式法 例2.分解因式： 2 3 2 a b ?5 +a 5 ?b x +9 +3x +3x 3．公式法 4 2 2 例3.分解因式： ?a +16 3x +2y ? x ?y 4．分组分解法 例4. x 2 ?xy +3y ?3x 2x2 +xy ?y 2 ?4x +5y ?6 学 海 无 涯 5．关于x 的二次三项式ax +bx+c的因式分解． 2 2 x x ax +bx +c 若关于x 的方程ax +bx +c 0 的两个实数根是 、 ，则二次三项式 就可分 1 2 解为a . 1 2 例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式： x2 +2x ?1； x 2 +4xy ?4y 2 ． x2 ?5x ?6 x2 ? a +1 x +a x2 ?11x +18 2 2 12x2 +xy ? 6y 2 4m ?12m +9 5+7x ?6x 2 3 2 2 2 2 6 2p ?q ?11 q ?2p +3 a ?5a b +6ab 4 ? x 4 ?2x 2 +1 x 2 ?y 2 +a2 ?b2 +2ax +2by 2 2 2 a ?4ab +4b ?6a +12b +9 x －2x－1 3 ； 4 2 ； a +1 4x ?13x +9 2 2 ； 3x2 +5xy ?2y 2 +x +9y ?4 b +c +2ab +2ac +2bc 第二讲 一元二次方程与二次函数的关系 1、一元二次方程 根的判别式 对于一元二次方程ax ＋bx＋c＝0 ，有: ?b ? b2 ?4ac 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x1，2 ＝ ； 当Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根x ＝x ＝－ ； 1 2 当Δ＜0 时，方程没有实数根． 根与系数的关系 2 b c 如果ax ＋bx＋c＝0 的两根分别是x ，x ，那么x ＋x ＝ ，x ·x ＝ ．这一关系也被称为韦达 1 2 1 2 ? 1 2 a a 2、二次函数y ax 2 =+bx +c 的性质 b ? b 4ac ?b2 ? 1. 当a ?0 时，抛物线开口向上，对称轴为x =? ，顶点坐标为?? ， ? 。 2a ? 2a 4a ? 学 海 无 涯 b b b 4ac ?b2 y y y 当x ?? 时， 随 的增大而减小；当x ?? 时， 随 的增大而增大；当x =? 时， 有最小值 。 x x 2a 2a 2a 4a b ? b 4ac ?b2 ? b ? ， y 2. 当a ?0 时，抛物线开口向下，对称轴为x =? ，顶点坐标为? ? 。当x ?? 时， 随 2a ? 2a 4a ? 2a b b 4ac ?b2 y y 的增大而增大；当x ?? 时， 随 的增大而减小；当x =? 时， 有最大值 x x 2a 2a 4a 3、二次函数与一元二次方程： 二次函数与一元二次方程的关系： 一元二次方程ax2 +bx + c 0 是二次函数y ax 2 =+bx +c 当函数值y 0 时的特殊情况. 图象与 轴的交点个数： ① 当? b2 =?4ac ? 0 时，图象与 轴交于两点A x ，0 ，B x ，0 ，其中的 是一元二次方程 x x ，x 1 2 1 2 2 b2 ?4ac ax +bx +c 0 a =? 0 的两根。这两点间的距离AB x =?x . 2 1 ② 当 时，图象与 轴只有一个交点； ? 0 x ③ 当 时，图象与 轴没有交点. ??0 x 1 当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有y ? 0 ； a ?0 x x 2 当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有y ? 0 。 a ?0 x x 例1.若x 和x 分别是一元二次方程2x ＋5x－3＝0 的两根． 1 2 1 1 3 3 求| x －x |的值； 求 + 的值；x ＋x ． 1 2 1 2 2 2 x x 1 2 y mx =+x ?2m m x 例2.函数 的图像与 轴的交点个数为 Ａ．0 个 Ｂ．1个 Ｃ．2 个 Ｄ．1个或2 个 2 2 x mx +mx +5 m y mx =+mx +5 ?m x 例 3.关于 的方程 有两个相等的实数根，则相应二次函数 与 轴 必然相交于 点，此时m ． y x =?x ?6m x x x x =+x +49 例4 .抛物线 与 轴交于两点 1 和 2 ，若 1 2 1 2 ，要使抛物线 经过原点，应将它向右平移 个单位． x y 2mx =+x +8m x m 例5.关于 的二次函数 的图像与 轴有交点，则 的范围是 1 1 1 1 Ａ．m ?? Ｂ．m ≥? 且m ? 0 Ｃ．m =? Ｄ．m ?? 且m ? 0 16 16 16 16 学 海 无 涯 1.一元二次方程ax ＋bx＋c＝0 的两根为x 和x ．求： 1 2 x +x 3 3 | x －x |和 1 2 ；x ＋x ． 1 2 1 2 y x ? 7x + x x 2.如图所示，函数 的图像与 轴只有一个交点，则交点的横坐标 0 ． y ax =+bx +c y C x A B M 3. 已知抛物线 与 轴交于 点，与 轴交于 1 ， 2 1 2 两点，顶点 的 ?4 x x x2 ?2x +m2 ?7 0 x 2 +x 2 10 纵坐标为 ，若 ， 是方程 的两根，且 1 2 ． 1 2 A B 求 ， 两点坐标； 求抛物线表达式及点 坐标； y ax =+c x x x x ? x x x +x 4. 若二次函数 ，当 取 、 时，函数值相等，则当 取 时，函数值为 1 2 1 2 1 2 Ａ．a +c Ｂ．a ?c Ｃ．?c Ｄ．c 1 2 1 2 y =? x +bx +c x ? x +bx +c 0 ?1 ?5 5、已知二次函数 ，关于 的一元二次方程 的两个实根是 和 ， 2 2 则这个二次函数的解析式为 第三讲 一元二次不等式的解法 2 2 1、定义：形如ax +bx+c＞0 ）的不等式 做关于x 的一元二次不等式。 2、一元二次不等式的一般形式： 2 2 ax +bx+c＞0 或ax +bx+c＜0 3、一元二次不等式的解集： Δ=b -4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 y y y y=ax +bx+c＞0 的图象 x 1 O x2 x x x 1 2 O x O ax +bx+c=0 ?b ? b2 ?4ac b x = x =- x = 1 2 没有实数根 的根 2a 2a 学 海 无 涯 ?b + b2 ?4ac x = ax +bx+c＞0 x＜x 或x＞x 1 2 b x≠- 全体实数 的解集 2a 1 2 ax +bx+c＜0 x ＜x＜x 1 2 无解 无解 的解集 1 2 4、解一元二次不等式的一般步骤： 2 2 将原不等式化成一般形式ax +bx+c＞0 ）； 计算Δ=b -4ac； 2 2 如果Δ≥0，求方程ax +bx+c=0 的根；若Δ＜0，方程ax +bx+c=0 没有实数根； 根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。 例1.解下列不等式： 2 2 2 4x -4x＞15； -x -2x+3＞0； 4x -4x+1＜0 例2.自变量x 在什么范围取值时，函数y=-3x +12x-12 的值等于0？大于0？小于0？ 例3.若关于x 的方程x - x-m=0 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。 1.解下列不等式： 2 2 2 4x -4x＜15； -x -2x+3＜0； 4x -4x+1＞0 2 2 4x -20x＜25； -3x +5x-4＞0； x ＞x +10 2.m 是什么实数时，关于x 的方程mx - x+m=0 没有实数根？ 学 海 无 涯 1 2 3 3.已知函数y= x －3x－ ，求使函数值大于0 的x 的取值范围。 2 4 含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从 分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答. 1.二次项系数含参数a x ax +x +1 ? 0. 例1.解关于 的不等式： x ax ?5ax +6a ? 0 例2.解关于 的不等式： 2.按判别式 的符号分类 例3.解关于 的不等式：x +ax +4 ?0. 2 2 x x ?4x +1 ? 0. 例4.解关于 的不等式： 3.按方程ax +bx +c 0 的根x , x 的大小分类。 1 2 2 1 例5.解关于 的不等式：x ?x +1 ? 0 2 2 x x ?5ax +6a ? 0 例6.解关于 的不等式： x x +x +a ? 0. 1.解关于 的不等式： x ax ?x +1? 0. 2.解关于 的不等式： 3.解关于 的不等式：ax +ax ?1?0. 2 2 x x +3ax +3 ? 0 4.解关于 的不等式： 学 海 无 涯 第四讲 一元高次不等式及分式不等式的解法 1.一元高次不等式的解法 1.可解的一元高次不等式的标准形式 ? 0 1 2 n 左边是关于x 的一次因式的积； 右边是0； 各因式最高次项系数为正。 2.一元高次不等式的解法 穿根法： 将高次不等式变形为标准形式； 求根x ,x , ,x ，画数轴，标出根； 1 2 n 从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“由右往左穿，由上往下穿，奇穿偶不穿”。 写出所求的解集。 例1. ?0 例2.x ? 0 例3. ?0 例4. ? 0 例5. ? 0 例6.2x3 ?x2 ?2x +1?0 学 海 无 涯 1. ? 0 2. ? 0 3. ? 0 4. ? 0 2 3 5. ? 0 4 3 6.x +2x ?x ?2 ?0 3 2 7.x +3x ?x ?3 ?0 2.分式不等式的解法 x ?3 例1. ? 0与 x ?3 x ?2 ? 0 解集是否相同，为什么？ x ?2 x ?3 ? 0与 x ?3 x ?2 ? 0 解集是否相同，为什么？ x ?2 通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式： f x ? 0 ?f x ?g x ? 0 g x f x ?g x ?0 f x ? ? ? 0 ? ? g x g x ? 0 ? 解题方法：穿根法。 解题步骤：首项系数化为“正”移项通分，不等号右侧化为“0”因式分解，化为几个一次因 式积的形式数轴标根。 x 2 ?3x + 2 例2.解不等式： ? 0 ?x 2 +7x ?12 x 2 ?9x +11 例3.解不等式： ? 7 x 2 ?2x +1 x 2 +5x ?6 例4.解不等式： 2 ? 0 x ?3x + 2 学 海 无 涯 2x +1 2x +1 例5.解不等式： ? x ?3 3x ?2 2 ?3x 例6.解不等式： ?3 x2 +x +1 解不等式： x ?3 1. ? 0 2 ?x 2x ?1 2. ? 1 x +3 x 2 ?3x + 2 3. ? 0 x 2 ?2x ?3 x 2 ?2x ?1 4. ? 0 x ?2 3 2 5. ? 0 x 6. ? 0 9 ?x 2 7.0 ? x ? ?1 3.无理不等式的解法 1、无理不等式的类型： ?f ?0? ? ? ① f ? g 型? ?g ? 0? f ?g g ? 0 g ? 0 ? ? ② f ? g 型? ?f ? 0

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