微分方程求解 笔记：五次方程的微分方程解法

以前很好奇为什么三次方程的根公式有两部分，四次，三部分...

如果五次是四个部分？这是什么意思？看起来像线性结构？

最近我们看到了一个有趣的五次方程的解法。

一定程度上解决了我的疑惑

求解五次方程

这个方程不能因式分解，它的伽罗瓦群是一个子循环群

考虑一般情况:

变成一个解相同的微分方程

一个简单的线性常微分方程，解是:

这五个根是:

那很有趣...这个微分方程是怎么用同样的解法得到的？

我查了一些参考资料

J. Cockle: Sketch of a Theory of Transcendental Roots, Phil. Mag. XX, 145 J. Cockle: On Transcendental and Algebraic Solution, Phil. Mag. XXIII, 135 R. Harley: On the solution of the transcendental solution of algebraic equations, Quart. J. pure appl. Math. V, 337

以下是科克和哈雷在1860年前后完成的计算...

先说布林格的正规公式

因为所有五次方程都可以转化成布林格的正规公式:

我们把x看作t的函数，也就是我们考虑的函数方程:

你能让这种排列更糟糕吗

我们想用微分方程来解决这个问题:

接下来，我们反复推导公式

然后将公式代入公式

这是非常困难的一步

重新代入公式，反复代入，直到项数大于5

然后比较系数...

注意第三个系数找不到，说明线性无关，设置为1即可。

然后，替换公式

然后解这个方程...太长了。

实验代码:

eqn=x^5-x+t==0；

diffeqn=Total@Table导数，{i，1，5}] +Sub==0

deriv =展平，D，{t，k}]，{k，1，4}]]

alg eqn = Expand。

expr=FixedPoint/。x^i_/；i>。4:>；x^&；，分子@在一起]；

完全简化

var=Array& amp；,6];

coe =求解]==0//Thread，var]

diffeq=diffeqn/。coe

sol=First@DSolve；

近似值=sol/。hold pattern @ HypergeometricPFQ->;一个

eqn prox = eqn/。接近

system =/@ Take]，t]，4]

coeC =求解

solfinal=sol/。coeC

Block}，eqn/。solfinal]

软件计算时间大约不到一分钟...