【音乐家音乐名言】音乐和数学

2500年前的一天，古希腊哲学家毕达哥拉斯出去散步，经过一家铁匠店，从里面出来的打铁场的声音比其他铁匠店更协调、更好听。他走进店里测量了锤子和铁砧的大小，发现了声音的协调与发声体体积的一定比例相关的规律。之后，他进一步发现，在弦上做实验时，按比例划分振动的弦，可以产生好听的音程。例如，1:2为八度，2:3为5度，3:4为4度等。这样毕达哥拉斯在世界上首次发现了音乐和数学的关系。他接着发现，声音的质量差异(如长度、高低、轻重等)都是由发音体数的差异决定的。几千年来，研究音乐和数学的关系一直是西方的热门课题。从古希腊毕达哥拉斯学派到现代宇宙学家和计算机科学家，在一定程度上受到“整个宇宙都是火星和水”观念的影响。开普勒、伽利略、欧拉、傅立叶、哈代等都研究过音乐和数学的关系。数学几何与哲学相吻合，渗透到西方人的所有精神生活中，渗透到所有艺术领域，成为西方艺术的一大特色。圣奥古斯汀留下了一句名言：“数字可以把世界变成和我们心灵相通的音乐。”现代作曲家巴托克、勋伯格、凯奇等都对音乐和数学的结合进行了大胆的实验。希腊作曲家克塞纳基斯(1933~)创立了“算法音乐”，从数学上取代了音乐思维。创作过程，也就是计算过程，作品名称和数学公式差不多。例如，《S+》是10种乐器，计算于1962年2月8日。马卡赫发展了斯托克豪森的“图表音乐”(阅读和观看的音乐)的思想，用几何旋转的方式创作了“几何音乐”。

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“我们的世界可以由音乐的音符或数学公式组成。

数学是研究现实世界空间形式的数量关系的科学，已经从一门学问转变为形式符号体系的学问。使用符号可以使数学变得非常抽象。音乐是研究现实世界音响的形态及其控制的艺术。它还使用符号系统，是所有艺术中最抽象的艺术。数学给人的印象是单调、枯燥、冷幕、音乐丰富有趣，充满感情和幻想。表面上，音乐和数学是“绝缘的”，风马牛不相配，但事实并非如此。德国著名哲学家、数学家莱布尼茨说：“音乐在基础上是数学的。从它的出现来看，它是直观的。”爱因斯坦更有趣地说：“我们的世界可以由音乐的音符或数学公式组成。”数学是以数字为基本符号的数组组合。它是对事物的定量抽象，通过各种公式揭示客观世界的内在规律。音乐把音符排列成基本符号组合在一起。那是对自然音响的抽象。然后通过与这个符号相关联的语法组织它们，总结我们主观世界的各种活动而已。就是抽象这一点，把音乐和数学联系起来。

数学和音乐位于人类精神的两个极端。一个人所有创造性的精神活动都是在这两个对立点的范围内展开的，人类在科学和艺术领域创造的一切都分布在两者之间。音乐和数学正是抽象王国里盛开的美丽花朵。用这两朵花可以掌握人类文明创造的精神财富。被称为数论祖先的希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯说：“音乐之所以神圣崇高，是因为它反映了宇宙本质——数字的关系。”世界上有数字的地方就有美。数学可以唤起人们的审美感和审美情趣，如音乐和其他艺术。数学家创造活动中也有情感、意志、信念、希望等审美因素参与，数学家创造的概念、公理、定理、公式、法则像诗、音乐、绘画、雕塑、话剧、电影等所有艺术形式一样，能够打动人，获得美。

古希腊欧几里德在《几何原本》建立的几何体系被称为“宏伟的建筑物”、“庄严的结构”和“高耸的楼梯”。吸引了多少科学少年！数学的美丽公式就像但丁新歌的诗句，黎曼几何就像肖邦的钢琴曲一样美丽。当你读到某个函数可以用无穷级数的形式来评价时，你的胸部会突然充满与天空和地面站在一起的浩然。(伯纳德肖，SLART)圆周率=3.141592653……。面对投篮的时候，可能不会产生任何美感，但这个数字代表了你看到的和没有看到的一切，当你知道墨水瓶盖相对于一个行星的圆的周长和直径的比例很小时，你会感叹。无穷级数的和谐和对称性具有崇高的美。读它就像读数学诗一样。就像漂浮在乌兰天空上的白云一样，无边无际。与(威廉莎士比亚、哈姆雷特、)宋朝朱景瑜名句所表达的境界相同。“晚风定钓线的话很闲，下面是新月。千里水天一色，看高红明灭。单击

“数字1 ~ 7是音乐中神奇的数字。”

反观秀的美丽也蕴含在音乐艺术中，验证了莱布尼茨的名言。"音乐是数学在灵魂中无意识的计算."众所周知，古今中外的音乐千姿百态，但都由7个音符(音名)组成，数字1 ~ 7在音乐中是神奇的数字。

数字1:万物的根本。《老子》云：“道生一，一辈子二，二三，三生万物。”整个宇宙是一个多元化、统一的和谐整体。这也是适用于包括音乐在内的所有艺术和科学的美学基本规律。古希腊数学家尼科马赫早就提出：“音乐是对立因素的和谐统一，让繁杂成为统一，让不和谐成为和谐。”总之，“一个”变成“很多”，“很多”变成“一个”的原理。中国谚语也叫“九九归一”。文艺复兴后500年的专业音乐在内容和形式上有天壤之别，但同时遵循了这个原理。音乐上的很多音乐手法，如反复、变奏、衍生、展开、对比等，有时强调统一。

时强调变化，综合起来，就是在统一中求变化，在变化中求统一。单音是音乐中最小的“细胞”，一个个单音按水平方向连结成为旋律、节奏，按垂直方向纵合成为和弦，和声。乐段（一段体）是表达完整乐思的最小结构单位。

数字2：巴洛克、古典、浪漫派音乐使用大小调调式体系，形成音阶与和声学的二元论（dualistic theory）。

数字3：三个音按三度音程叠置成为各种各弦。三和弦是最常用的和声建筑材料。爱因斯坦认为不管是音乐家还是科学家都有一个强烈的愿望，“总想以最适合的方式来画出一幅简化的和易于领悟的世界图像。”数字“2”与“3”在音乐中概括了最基本的节拍类型二拍子与三拍子以及曲式类型二段式三段式；T²=D³是开普勒行星运动第三定律的数学公式，表示行星公转周期（T）的二次方与它同太阳距离（D）的三次方相等。开普勒从大量十分零乱的观测资料中发现了这个自然规律，它是那样简洁、优美，被人称为奇妙的“2”与“3”。T2=D3令人感到一种多么简洁的美感！

数字4：人声天然地划分为四个声部，任何复杂的多声部音乐作品都可以规范为四部和声。我们平时所弹奏的钢琴作品的曲式结构，大多数都是“古典四方体”方整结构，即4+4+4+4…… ，4小节为一乐句，8小节为一乐段。

数字5：五度相生律（毕达哥拉斯律）及五度循环揭示了乐音组织的奥秘，而和声五度关系法则是构筑和声大厦的基石。

数字6：六和弦、六声音阶、一个八度之内有六个全音，常用的调是主调及其五个近关系副调。

数字7：更显神秘莫测，常用的七声音阶由七个音级组成，巴洛克时期以前采用中古教会七种调式，19世纪民族乐派之后中古教会七声调式部分地得到复兴。太阳光谱由红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色组成，以牛顿为代表的科学家，曾对“七音”与“七色”之间奥妙的对应关系进行过有趣的探索。人体生理结构分为七大系统。旧约圣经中上帝创造世界用了七天，因此一个星期有七天。就连神话中的牛郎织女也选“七夕”（农历七月初七晚上）来相会。化学元素是物质世界的基础，门捷列夫发现的“元素周期表”的结构图中有七个横行，七个周期，还有七个主族，七个副族。“ 菲波那齐数列、黄金分割比例在音乐中的普遍应用

任何空间物体、图形都可以简化、抽象为点 — 线 — 面 — 体几何图形，显示出数理统一与和谐的美。同样任何钢琴作品也可据此进行简化和抽象。例如：横向时间系列分为乐句 — 乐段 — 乐章 — 套曲；纵向空间系列分为音级 — 音程 — 和弦 — 和声；钢琴织体层次分为单音一单声部一声部层（或伴奏层）织体类型。

某些数列广泛地应用于音乐之中，如等比数列1、2、4、8、16、32用于音符时值分类及音乐曲式结构中；菲波那齐（也译作斐波那契，小编注）数列用于黄金分割及乐曲高潮设计中。

菲波那齐是13世纪意大利数学家，他于1228年提出一个兔子繁殖数问题：“如果有一对小兔，两个月后就能生，每月生一对，生下来的小兔也是如此，如果都不死，一年以后有多少对？”打从那以后，人们越来越注意这个数学题的奇妙答案：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……这便是奇妙的菲波那齐数列。这个整数列有三个特点：（1）任何相邻两个数，其第一个数与第二个数的比值约等于0.618，相邻两个数的位置越靠后，比值越接近，称为黄金比率。（2）任何相邻三个数，其中前两个数之和等于第三个数，如1+2=3，2+3=5，3+5=8，依此类推。（3）任何相邻三个数，其中第一个数和第三个数的乘积与第二个数的平方相差1。

从自然界到日常生活处处都存在菲波那齐数列，存在黄金比率。某些花的花瓣数是菲波那齐数：水仙花3瓣，金凤花5瓣，翠雀花8瓣，金盏花13瓣，紫苑花21瓣，雏菊花34，55或89瓣，向日葵的花盘上面有21个顺时针旋形与34个逆时针旋形；在动物中还可以发现一些软体动物的甲壳花纹、昆虫翅膀对的数目在一定程度上符合这个数列；一些无机物质的原子排列、分子的缔合形式也与这个数列接近。人体最理想的比例（最靓的身材）应是上半身及下半身（以肚脐为界）的比值与黄金比率相吻合，例如一个模特的身高为1.618米，则上半身为0.618米，下半身为1米。如果再细分，上半身的黄金点在咽喉，面部的黄金点是眼睛，下半身的黄金点在膝盖。

建筑物廊柱间的比例，绘画、摄影构图地平线的分割，主体在画幅中的位置，一本书长与宽的比例如果符合黄金比率的话就显得美，如果改为1：1则显得呆板，单调。文学、戏剧与诗歌写作中的起、承、转、合原则，所谓“转”便是转折、对比，是写作的关键所在。“转”在整个结构部位中接近黄金分割点。

菲波那齐数列在音乐中得到普遍的应用，如常见的曲式类型与菲波那齐数列头几个数字相符，它们是简单的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏鸣曲式也是三部性结构，如再增加前奏及尾声则又从三发展到五部结构。黄金分割比例与音乐中高潮的位置有密切关系。我们分析许多著名的音乐作品，发觉其中高潮的出现多和黄金分割点相接近，位于结构中点偏后的位置：小型曲式中8小节一段式，高潮点约在第5小节左右（见本教程曲44，第一个8小节乐段）；16小节二段式，高潮点约在第10小节左右；24小节带再现三段式，高潮点在第15小节左右。

本教程曲46《梦幻曲》是一首带再现三段曲式，由A、B和A′三段构成。每段又由等长的两个4小节乐句构成。全曲共分6句，24小节。理论计算黄金分割点应在第14小节（24×0.618=14.83），与全曲高潮正好吻合。有些乐曲从整体至每一个局部都合乎黄金比例，本曲的六个乐句在各自的第2小节进行负相分割（前短后长）；本曲的三个部分A、B、Aˊ在各自的第二乐句第2小节正相分割（前长后短），这样形成了乐曲从整体到每一个局部多层复合分割的生动局面，使乐曲的内容与形式更加完美。大、中型曲式中的奏鸣曲式、复三段曲式是一种三部性结构，其他如变奏曲、回旋曲及某些自由曲式都存在不同程度的三部性因素。黄金比例的原则在这些大、中型乐曲中也得到不同程度的体现。一般来说，曲式规模越大，黄金分割点的位置在中部或发展部越靠后，甚至推迟到再现部的开端，这样可获得更强烈的艺术效果。如本教程曲64莫扎特《D大调奏鸣曲》第一乐章全长160小节，再现部位于第99小节，不偏不依恰恰落在黄金分割点上（160×0.618=98.88）。据美国数学家乔·巴兹统计，莫扎特的所有钢琴奏鸣曲中有94%符合黄金分割比例，这个结果令人惊叹。我们未必就能弄清，莫扎特是有意识地使自己的乐曲符合黄金分割呢，抑或只是一种纯直觉的巧合现象。然而美国的另一位音乐家认为。“我们应当知道，创作这些不朽作品的莫扎特，也是一位喜欢数字游戏的天才。莫扎特是懂得黄金分割，并有意识地运用它的。”

贝多芬《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章是如歌的慢板，回旋曲式，全曲共73小节。理论计算黄金分割点应在45小节，在43小节处形成全曲激越的高潮，并伴随着调式、调性的转换，高潮与黄金分割区基本吻合。

肖邦的《降D大调夜曲》是三部性曲式。全曲不计前奏共76小节，理论计算黄金分割点应在46小节，再现部恰恰位于46小节，是全曲力度最强的高潮所在，真是巧夺天工。

拉赫曼尼诺夫的《第二钢琴协奏曲》第一乐章是奏鸣曲式，这是一首宏伟的史诗。第一部分呈示部悠长、刚毅的主部与明朗、抒情的副部形成鲜明对比。第二部分为发展部，结构紧凑，主部、副部与引子的材料不断地交织，形成巨大的音流，音乐爆发高潮的地方恰恰在第三部分再现部的开端，是整个乐章的黄金分割点，不愧是体现黄金分割规律的典范。此外这首协奏曲的局部在许多地方也符合黄金比例。

我们再举一首大型交响音乐的范例，俄国伟大作曲家里姆斯－柯萨科夫在他的《天方夜谭》交响组曲的第四乐章中，写至辛巴达的航船在汹涌滔天的狂涛恶浪里，无可挽回地猛撞在有青铜骑士像的峭壁上的一刹那，在整个乐队震耳欲聋的音浪中，乐队敲出一记强有力的锣声，锣声延长了六小节，随着它的音响逐渐消失，整个乐队力度迅速下降，象征着那艘支离破碎的航船沉入到海底深渊。在全曲最高潮也就是“黄金点”上，大锣致命的一击所造成的悲剧性效果慑人心魂。

黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为“天然合理”的最美妙的形式比例。世界上到处都存在数的美，对于我们的眼睛，尤其是对我们学习音乐的人的耳朵来说，“美是到处都有的，不是缺乏美，而是缺少发现”（罗丹语）。

（选自蔡松琦、蔡幸子著《钢琴宝典》华南理工大学出版社2001年7月第1版，“好玩的数学”编辑整理，小标题由小编所加）

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“ 毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系

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毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系

我们这个世界可以由音乐的音符组成也可以由数学公式组成

数字1～7在音乐中是神奇数字

数字7：更显神秘莫测，常用的七声音阶由七个音级组成，巴洛克时期以前采用中古教会七种调式，19世纪民族乐派之后中古教会七声调式部分地得到复兴。太阳光谱由红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色组成，以牛顿为代表的科学家，曾对“七音”与“七色”之间奥妙的对应关系进行过有趣的探索。人体生理结构分为七大系统。旧约圣经中上帝创造世界用了七天，因此一个星期有七天。就连神话中的牛郎织女也选“七夕”（农历七月初七晚上）来相会。化学元素是物质世界的基础，门捷列夫发现的“元素周期表”的结构图中有七个横行，七个周期，还有七个主族，七个副族。

“ 菲波那齐数列、黄金分割比例在音乐中的普遍应用

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菲波那齐数列、黄金分割比例在音乐中的普遍应用

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