1、定义不同:公理是大家都认同的道理。“公”就是公共、大家的意思,在人类生产、生活中过程中,经过人类长期反复实践及验证,基于依据人类理性的不证自明的基本事实,不需要再加证明的基本命题,就是“公理”。定理是经过证明的肯定对的道理。“定”就是肯定、一定的意思,“是经过合理的逻辑推理及证明等方法,得到的真命题叫作“定理”。
2、能否被证明不同:公理不能被证明,因为这是大家在长期的生活中公认的一种道理,不能也不需要被证明。所以公理是不需要认证的,是大家公认的,可以直接拿来用的。定理需要被证明。比如数学、物理中的很多公式、定理等都需要证明它是对的,而且也是可以被证明的。一个推理的过程,允许从公理中引出、推出、证明出新定理和其他之前发现的定理。也就是说公理可以推出来定理。
3、形成方式不同:公理是通过人们的反复使用和公认而形成的,不需要被推理。公理是经过人类长期反复的实践检验是真实的,大家普遍公认的、不需要由其他判断加以证明、且也不能由其他判断证明的命题和原理。定理是通过用推理的方法得到的。真命题叫作“定理”,这种推理的方法也叫“证明”,是一种已经证明具有正确性、可以作为原则或规律的命题或公式。
4、适用领域不同:公理广泛存在于各种各样的学科领域之中,除了数学、物理、化学这样的理科领域,公理也存在于经济、法学、新闻、文学、历史等的人文社科领域。定理的适用领域相对公理较小,定理一般只存在于可以被推理和证明的学科领域,也就是理科性质的领域,而文科性质的领域往往不需要严密的推理论证,因此也基本没有什么定理。
5、所属领域不同:公理是一个相对广泛的科学领域,和定理不同,公理的所属领域不仅限于逻辑学,一个公理不能被其他公理推导出来,否则它就不是起点本身,而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。定理是一个逻辑学领域的词汇,定理是经过受逻辑限制的 证明为真的叙述。一般来说,在数学中,只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。
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