勾股定理证明 勾股定理的证明方法有多少种

勾股定理的证明方法有16种，但是路明思（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。下面就和小编了解一下最简单的集中证明方法吧，供大家参考。

证法1（梅文鼎证明）

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD

∴∠EGF=∠BED

∵∠EGF+∠GEF=90°

∴∠BED+∠GEF=90°

∴∠BEG=180°―90°=90°

又∵AB=BE=EG=GA=c

∴ABEG是一个边长为c的正方形

∴∠ABC+∠CBE=90°

∵RtΔABC≌RtΔEBD

∴∠ABC=∠EBD

∴∠EBD+∠CBE=90°

即∠CBD=90°

又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°

BC=BD=a.

∴BDPC是一个边长为a的正方形

同理，HPFG是一个边长为b的正方形

设多边形GHCBE的面积为S，则

a^2+b^2=c^2

证法2（项明达证明）

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵∠BCA=90°，QP∥BC

∴∠MPC=90°

∵BM⊥PQ

∴∠BMP=90°

∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=°

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°

∴∠QBM=∠ABC

又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA

同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2

证法3（赵浩杰证明）

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b

∴FI=a

∴G,I,J在同一直线上

∵CJ=CF=a，CB=CD=c

∠CJB=∠CFD=90°

∴RtΔCJB≌RtΔCFD

同理，RtΔABG≌RtΔADE

∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ

∵∠BCJ+∠CBJ=90°

∴∠ABG+∠CBJ=90°

∵∠ABC=90°

∴G,B,I,J在同一直线上

所以a^2+b^2=c^2

证法4（欧几里得证明）

作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结。

BF、CD.过C作CL⊥DE

交AB于点M，交DE于点L

∵AF=AC，AB=AD

∠FAB=∠GAD

∴ΔFAB≌ΔGAD

∵ΔFAB的面积等于ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半

∴矩形ADLM的面积=

同理可证，矩形MLEB的面积=

∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴即a的平方+b的平方=c的平方

证法5（邹元治证明）

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵RtΔHAE≌RtΔEBF

∴∠AHE=∠BEF

∵∠AEH+∠AHE=90o

∴∠AEH+∠BEF=90o

∴∠HEF=180o―90o=90o

∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2

∵RtΔGDH≌RtΔHAE

∴∠HGD=∠EHA

∵∠HGD+∠GHD=90o

∴∠EHA+∠GHD=90o

又∵∠GHE=90o

∴∠DHA=90o+90o=180o

∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于(a+b)²

∴(a+b)²=4x1/2ab+c²

∴a²+b²=c²