不定积分换元法技巧 不定积分第一换元法题解答有一步看不懂,请指教

题目：

不定积分第一换元法题解答有一步看不懂,请指教题目中有这样一步,我看不懂,我一直理解dx就是x的微分,是Δx趋近于无穷小的值.也就是说dx是一个整体,表示无穷小的Δx,不是d和x的乘积.可是这道题有这样一步变换,我就不太理解了,为什么可以这样算?dx中的x可以是一个函数，即将φ(t)作为一个整体X。这个我能理解。我是一步一步算的，没有从dφ(x)的φ(x)中直接提取一个a出来。为什么此题的解答可以从dφ(x)的φ(x)中直接提取出来一个a放到前面？原话是“因为为了凑微分，d后的φ(x)变成φ(x)/a，所以给前面乘a”。这是仅仅是做题总结出来的一般规律还是什么标准的运算法则？是不是有类似∫Af(x)dx=A∫f(x)dx这样的运算法则？

解答：

　　在积分∫f(x)dx中,∫为积分号、f(x)为被积函数、d为微分符号、x微积分变量,你对“dx就是x的微分,是Δx趋近于无穷小的值”的理解没错,dx=Δx,即自变量的微分等于自变量的增量,这个教材中都有证明,当然,函数的微分=函数的导数乘以自变量的微分即dφ(t)=φ"(t)dt.　　但这里积分变量x不一定非要是最终变量,它也可以是中间变量.如x=φ(t),x为t的函数.此时并不影响∫f(x)dx=F(x)+C的结果,这里F(x)为f(x)的原函数.　　上述积分中,如果x为中间变量,则∫f(x)dx=∫f(φ(t))dφ(t)=∫f(φ(t))φ"(t)dt.也就是说,反过来,如果你要计算∫f(φ(t))φ"(t)dt,就要逆回去∫f(φ(t))φ"(t)dt=∫f(φ(t))dφ(t)=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ(t))+C,这也是第一换元积分法的原理.　　你题目中的红色的问号,这一步称为”凑微分“,即微分的逆运算,欢迎追问, 再问： 谢谢你的回答，但是你可能没明白我的问题，追问有字数限制，我补充到原问题里面了。 再答： 明白你的意思，只是不知道怎么回答，所以还不能让你理解，“凑微分”的妙处或者说所谓准则在于一个“凑”字，关键就是“凑”出什么样的“φ(x)”或者中间变量的问题，你的问题中需要的是“φ(x)/a”这样的一个“φ(x)”，只有“φ(x)/a”这样的一个“φ(x)”，才能“凑”成反正弦函数的基本积分公式。注意我回答中提到的φ(x)仅仅是一个根据“需要”凑出来的一个中间变量而已！另外，确实有类似∫Af(x)dx=A∫f(x)dx的积分运算法则，也有类似adx=d(ax)这样的微分运算法则，从而才会有dφ(x)=a·(1/a)dφ(x)=a·d[φ(x)/a]，教材中有证明，证明也简单不再赘叙。