托勒密定理 几个重要定理的内熔：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理.

题目：

几个重要定理的内熔：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理.有什么例题麽

解答：

塞瓦定理 塞瓦定理 开放分类： 数学、三角形、定理 塞瓦定理 设O是△ABC内任意一点, AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明： ∵△ADC被直线BOE所截, ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD被直线COF所截,∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/BF)=1② ②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F, 根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点. 托勒密定理 定理的提出 [编辑本段] 一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出. 定理的内容 [编辑本段] 托勒密(Ptolemy)定理指出,圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 原文：圆内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和. 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 证明 [编辑本段] （以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况.） 在任意四边形ABCD中,连接AC,作∠BAE=∠CAD,因为∠ABE=∠ACD 则△ABE∽△ACD 所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 又有比例式AB/AC=AE/AD 而∠BAC=∠DAE 所以△ABC∽△AED相似. BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”） 所以命题得证 推论 [编辑本段] 1.任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号. 2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆、 推广 [编辑本段] 托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积,取等号当且仅当共圆或共线. 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模, 得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意： 1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价. 2.四点不限于同一平面. 欧拉定理：在一条线段上AD上,顺次标有B、C两点,则AD·BC+AB·CD=AC·BD 满意请采纳