一元二次方程对称轴 二次函数与一元二次方程之间的关系

22.2二次函数和一元二次方程

一类二次函数与一元二次方程的关系

1.了解二次函数与一维二次方程的关系。

2.将判断抛物线与X轴的交点个数。

3.掌握方程和函数之间的变换。

4.二次函数的图像将被用来寻找相应的一维二次方程的近似解。

阅读教材第43-46页，自学“问题”、“思维”、“例题”，了解二次函数与一维二次方程的关系，判断抛物线与X轴的交点，利用二次函数的图像，求出对应的一维二次方程的近似解。

自学反馈，学生独立完成后集体修改

①抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个公共点，公共点的横坐标为x，所以当x=x0时，函数值为0，所以x=x0是方程ax2+bx+c=0的根。

②二次函数像与x轴有三种位置关系:当B2-4ac >时；0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴相交。当B2-4ac

③通过观察图中抛物线与X轴的交点，能得到对应方程的根吗？

方程x2+x-2=0的根是x1 =-2，x2 = 1。

方程x2-6x+9=0的根为x1=x2=3。

方程x2-x+1=0没有实数根。

(4)如图，你能直观看到哪些方程根？

解:-x2+2x+3=0的根为x1=-1，x2 = 3；-x2+2x+3=4有x1 = x2 = 1；-x2+2x+3=3的根是x1 = 0和x2 = 2

这个问题充分体现了二次函数与一元二次方程的关系，即在函数y=-x2+2x+3中，当y为定值m(如4，3，0)时，对应的x值为方程-x2+2x+3=m的根(m=4，3，0)。

⑤假设抛物线y=ax2+bx+c如图所示，方程ax2+bx+c-3关于X = 0的根为x1=x2=1。

这个问题有很多解决方法，但根据图像来解决是最简单的方法。

活动1小组讨论

例1:已知二次函数y=2x2-(4k+1)x+2k2-1的像与x轴在两点相交，得到k的取值范围。

解:根据问题的意思，B2-4ac >: 0，即(4k+1) 2-4 × 2 × (2k2-1) >: 0，解为k >: -。

根据交点个数确定b2-4ac的正负是解决问题的关键，所以要熟悉它们之间的对应关系。

活动2后续培训(展示独立完成后的学习成果)

1.抛物线y=ax2+bx+c和x轴的公共点是(-1，0)和(3，0)，求抛物线的对称轴。

解:直线x=1

根据二次函数的对称性。

2.画出函数y=x2-2x-3的图像，根据图像回答:

(1)方程x2-2x-3=0的解是什么？

②当x取任意值时，函数值大于0；当x取什么值时，函数值小于0。

求解:①x1=-1，x2 = 3；②当x : 3时，函数值大于0；当-1

X2-2x-3=0，即求二次函数y=x2-2x-3中函数值y=0时自变量x的值。

3.已知抛物线y=ax2+bx+c在点c处与y轴相交，在点a (x1，0)和b (x2，0) (x1

(1)求a点和b点的坐标；

②求抛物线与C点坐标的关系；

③抛物线上是否有点p，使得△ABP的面积等于四边形ACMB面积的两倍？如果存在，计算所有合格点的坐标；如果不存在，请说明原因。

解:① A (-1，0)，B(3，0)；②y=x2-2x-3，C(0，-3)；③存在，P1(1+，9)，P2(1-，9)。

这个问题的突破点是根据一维二次方程的根与系数的关系求出m的值，求出由A和B的坐标导出的二次函数的解析表达式，然后根据顶点坐标公式得到A、B、C的关系表达式，即得到一个三元方程组，再通过求解求出待定系数。第三个问题可以设定点P的坐标，从而得到△ABP面积的代数表达式，进而建立方程模型。

活动3课堂总结

本课学到的知识:

1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与二次方程的关系。当y为定值m时，对应自变量x的值为方程ax2+bx+c = m的根.

2.如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x0，0)，则x0为方程ax2+bx+c=0的根。

3.有以下对应关系:

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的像与x轴位置的关系；b2-4ac在单变量二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况下的值

有两个共同点和两个不相等的实根B2-4ac >: 0

只有一个公共点有两个相等的实根b2-4ac=0

没有共同点，没有真正的根B2-4ac

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