隔板法 高中数学｜巧用隔板法秒杀排列组合问题！

高军说:众所周知，排列组合计数问题，背景不同，方法灵活，能力要求高，一直是广大学生的噩梦。今天就来解决大家的噩梦吧！

高军曾经在课堂上问过学生这样一个排列组合问题:“有7个学生，从左到右排成一排拍照。小号学生不能站在中间，因为他们太矮了，因为他们不能又高又帅。小惠的同学相邻，一定要和他好朋友的大同学聚一聚。有几排？”学生们面面相觑了三秒钟，异口同声地说:“小号，滚！！!"

虽然这是学生们日常的玩笑，但也体现了排列组合题的“可怕”。不过没关系。今天考君会给你带来一个“小隔断”，被誉为排列组合三大神器之一。分区虽然小，但是用处很大。对于同一元素有序分组的问题，“分区法”可以起到二杀的作用。在学生印象中，划分方法如下:①有几个相同的元素；(2)这些元素被有序地分成几组，每组至少有一个元素；③要素不能有剩余。是的，这是隔膜法基本模型的三个条件。但你今天想告诉同学的是，只要是相同元素有序分组的问题，我们都可以用划分的方法来解决。我们通过几个典型的例子来分析一下:

1.基本模式:直接使用隔膜法

[例1]有7个相同的球。把它们都放在编号为1、2、3和4的四个盒子里，每个盒子里至少放一个球。有多少种不同的方式？

【思路】这个问题满足隔膜法基本模型的三个条件，可以直接应用隔膜法。首先，我们把七个球排成一排。如下图所示，七个球之间有六个间隔，我们在这六个间隔中挑出三个间隔插入隔板，这样我们就把球分成了四个部分，每个部分至少有一个球。然后，我们把四个球按从左到右的顺序放入1-4号四个盒子里，得到了相应的摆放方法。

○○○○○○○

这样，每个分区插入方法对应一个小球方法。六个音程插三个隔板的插入方法有很多种，也就是本题目有20种不同的插入方法。

【方法总结】将相同的元素有序的放入一个盒子里(空盒子是不允许的)相当于在每个间隔里插入一个隔板。所以不同的隔板插入方式有相同数量的不同摆放方式，共有摆放方式。下面是几种结合的基本公式，其计算公式是。

这是隔板法的基本模型。学生要掌握基本模型的应用条件、原理和操作，最后记住这个结论，这样这类问题就容易解决了。接下来，考试会带你进入更高级的模式。

2.变体(1):受限分组问题

[例2]有12个相同的球。把它们都放在编号为1、2、3和4的四个盒子里，每个盒子里至少放两个球。有多少种不同的方式？

有什么“思路启发”？纳尼？两个球？？那就不能直接用分区法了。这让你担心考试。每个盒子需要两个球。如果你需要这么多球，你可以有一个球。如果每个盒子里都有一个球，我只需要在每个盒子里至少放一个球。诶等等，也就是说每个箱子只要提前装满一个球，隔板法都可以。

明白了。聪明的考官先拿出四个球，放进四个盒子里。现在每个盒子里都有一个球！这样，问题就变成了把剩下的八个一模一样的球按顺序放入四个盒子里，每个盒子里至少有一个球。这个不简单，直接套用刚才基本分区法模型的结论，七个区间插入三个分区，一共是一种释放法。

[方法概述]本主题是分区方法的变体。原理是每个盒子里要放一定数量的球，才能转化成分区法的基本模型。总结如下:要将相同的元素按顺序放入框中(至少每个框中有元素)，需要先将元素放入每个框中，然后用分区的方法将剩余的元素放入框中。

相信聪明的你已经掌握了这个操作，然后我们再和高俊一起看另一个话题:

【例3】有12个相同的球，全部放入编号为1、2、3、4的四个盒子中。要求每个盒子里的球数不能少于它的数量。有多少种不同的摆放方法？

[想法]聪明的你一定看到了一些线索。这个问题有点类似于例2。一定数量的球必须放在一些盒子里才能转换成分区法。例如，盒子2中必须至少有两个球，所以考官首先在盒子2中放一个球。同理，在3号箱放2个球，4号箱放3个球。这样就保证了每个盒子里至少需要放一个球才能满足要求。所以剩下的六个球用分区法放在四个盒子里，一共是种法。

【方法总结】这个题目也是划分方法的一个变种，可以总结为:当每个盒子不是一个空盒子，元素个数不同时，我们需要先放一定个数的元素，这样每个盒子至少可以放一个元素才能满足要求。然后用分区的方法把剩下的元素放进一个盒子里。

等等，如果你的同学看到你的骨头怪怪的，一定要学着做暴君。别急着走。你必须迈出一大步。让我们看看最后一个问题:

3.变式(2):允许“空框”的问题

【例4】有8个相同的球，全部放入编号为1、2、3的三个盒子中。空框是允许的。有多少种不同的方式？

有什么“思路启发”？纳尼？空框允许吗？？为什么又变了？？？这种变化和广州的春天天气有什么区别！明明，我就是想考死你！考官又陷入了沉思…不能直接用隔断法，那如果用隔断法，能不能从每个盒子里拿出一个球？然而它变成了只有五个小球。正当我一筹莫展的时候，我的小号同学拿着另外三个一模一样的球走了过来……

明白了。你的机智好友高俊在线！“小号小号，借我三个球，让我用隔板分一个球”。成功借了三个球之后，这个时候就可以这样操作了。加上原来的8个球，现在有11个球，用分区法放在三个盒子里。对于每种打法，考官从每个盒子里拿出一个球，还给小号学生。当一个球被分配到盒子里，然后一个球被退回时，盒子实际上是一个空盒子；分成两个球后，返回一个球。盒子里其实只有一个球，以此类推。就这样，八个一模一样的球成功分成了三个盒子，有空盒子的玩法45种。

【方法总结】要将相同的元素有序地放入一个盒子里(空盒子是允许的)，需要通过外力借用另一个相同的元素，再通过分区的方法转化为将相同的元素放入一个盒子里(最后每个盒子取出一个球，还回去)，这样就有了总栽法。

学生们学过这种隔板杀技能吗？

做几道题，练手

练习1:有七个相同的球，把它们都放在编号为1、2和3的三个盒子里。(1)如果每个盒子里至少有一个球，有多少种不同的方式？(2)如果允许空框，有多少种不同的方法？

练习二:有20本相同的书，都分发给4个学生。每个学生被要求至少得到3本书。有多少种不同的方法？

练习3(拓展与改进):正整数解有几组？

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目标

*来源:从网络整合而来