正三角形 这个正三角形如何画？（之二）

这个正三角形怎么画？

先给大家看一个动画视频。

这个动画和我们今天要讨论的问题有什么联系？

下图是一个正三角形，它的三个顶点位于三个同心圆上。

所以，今天的问题和昨天的问题差不多。有两个问题:对于任意三个同心圆，能否构造出三个顶点位于三个圆上的正三角形？如果可以构造，或者条件允许，如何构造或绘制这样的正三角形？

回答:

结论是:随机选择三个同心圆中的两个，让它们的半径分别为R和r ，那么，只有第三个圆的半径x的范围是从

R-r <。x <。R +r

，可以构造这样一个正三角形。

我们展示这个动画背后的数学原理，并没有那么神秘，只是一个简单的数学画图问题。

观察上面的动画，其中红圈A和绿圈B是三个同心圆中的两个，我们在红圈A上取一个点，这样点A就可以固定了。在绿色圆B上取一个点，但让它在圆上自由移动。连接AB，做一个以AB为一边的正三角形ABC，其中C点为第三个顶点。让B点在圆B上运动，观察C点的运动，发现也是圆。这也是必然的，因为和B点一样，离A点的距离也是一个正三角形的边长。因为点B在圆B上运动，所以点C的轨迹是一个与圆B大小相同的圆。而且，圆d的圆心一定在圆a上。

这样可以计算出圆d上最远点到同心圆圆心的距离为R+r，圆d上最近点到同心圆圆心的距离为R-r..然后最后R-r和R+r之间的圆就是第三个同心圆的范围。在这个范围内，这三个同心圆就是满足条件的三个圆，所以我们可以做一个正三角形，它的三个顶点位于这三个同心圆上。观察以上动画，发现对于圆C范围内的某个位置，变化圆C由小变大，由大变小时，经过这个特定的圆位置一次，经过两次，满足要求的正三角形就不一样了。这说明至少有两个正三角形满足要求。另外，还有对称的正三角形，就像上一期讨论的三条平行线上的三个点构成的正三角形一样。这里还有另外两个满足要求的正三角形，与前面两个关于直线OA的正三角形对称。这样就有了四个符合要求的正三角形。即以某个同心圆上的一个不动点为顶点，满足要求的四个正三角形。

如果红圈上的点A也在圆上移动，可以想象，构造的正三角形会扫过所有的环形区域。

我们可以把上面的动画想象成宇宙，大圆就是宇宙的边缘；而在黑圈的中间，也是宇宙之外，像一个黑洞，不知道里面是什么。声明:这个想象完全是我自己的科幻，请不要当真！

下面讨论映射方法。这绝对是真的！

如上图。这里已经假设三个圆满足上述条件。事实上，如果不符合要求，就不能进行以下方法。

取大圆C上的一个点C..以c点为圆心，以大圆的半径为半径做一个圆，把一个点和大圆交起来，设为d点。

以D点为圆心，以小圆的半径为半径做一个圆，在B and B点与圆B相交。连接BC和b 'c。

以C点为中心，BC和B’C为半径做两个圆，在A点和A’点与小圆相交。那么正三角形ABC和正三角形A'B'C都是满足要求的正三角形。

另外两个满足要求的正三角形是这两个正三角形ABC和A‘b’c关于直线CO的对称图形。