21点专题之二十一点：被数学家痛虐的赌场游戏

赌场里总是有很多“一夜暴富”的神话。

在众多造神活动中，数学家封神最有说服力。

2012年曾有“澳洲19名数学家组团豪赌，狂赢156亿”的传奇，但很快就被证明是假消息。

那么数学到底能不能让人在赌场无往不利？

能，只要选对了游戏。

在赌场少有真正的公平，总是庄家赢面略大，但在众多游戏中，还有一种能通过计算概率达到49%的胜率。

那就是21点（Blackjack）*，职业赌徒的看家本领。

*注：就像斗地主中的王炸，初始牌拿到A与10则称作“黑杰克（Blackjack）”，直接取胜，这也是21点又名“Blackjack”的原因。

相较于德州扑克、老虎机这些赌场游戏，21点亲民得多。

扑克中两张鬼牌先剔除，其余的牌2~9分别记作2~9点，10、J、Q、K记作10点，A视情况记作1或11点。

游戏的胜负判定很简单，执牌双方将手牌点数相加，通过比大小决定输赢。

总数相加最大只能21点，超过21点则为“爆牌”直接失败，数字相同则为平局。

而带有赌场特色的21点，规则更为繁复。

游戏双方分为庄家、玩家，所有玩家只需和庄家比大小。

通常庄家会在半圆形牌桌上应战5~7名玩家，因为扑克牌一般也为两副及两副以上。

庄家由赌场方担任，玩家各自决定单局筹码，随后游戏开始！

圆形塑料片为筹码

首回合，玩家与庄家各获得两张初始牌，一张翻开一张合上。

随后而玩家可以选择：拿一张牌（Hit）、结束拿牌（Stand）。

当然，如果局势大好也可以选择赌注翻倍并拿牌（Double）。

还有一种情况，当两张初始牌相同，可将它们分开，另外压一份赌注，再次补充至两张，相当于同一局玩两次（Split）。

如果局势不佳，有的赌场还允许选择认输（Surrender）。

等所有玩家结束拿牌后，庄家看牌，并按规则操作：大等于17点则不拿牌，反之拿牌直至17点，爆牌则所有玩家获胜。

21点并不复杂，感觉更像依靠运气的游戏。

但实则不然，21点的乐趣颇似魔方，不懂的时候只能随意玩玩，一旦把握了公式就像打开了新世界的大门。

作为一款被数学家一直欺负的游戏，绝对是有它好欺负的一面。

法国曾宣称21点发源于他们国家的“Vingt-et-un游戏（20和1游戏）”。

也有研究认为，现代21点最早可追溯至20世纪早期印度的地下赌博。

可以确定的是，19世纪的美国大陆确实开始流行21点。

于1931年，内华达州宣布赌博合法化，21点开始公开出现在赌博俱乐部，一举成为继骰子游戏后最风行的庄家游戏。

2008年上映的美国赌博电影《决胜21点》，正是围绕21点开展的故事。

影片中，主角所在的麻省理工学院，有一个秘密团队Blackjack Team。

这个以高智商成员组建的团队，便是靠着钻研数学技巧在21点赌桌上取胜。

正是这部电影将赌徒谚语“Winner winner，chicken dinner”，首次捧火。

“21”（2008）

电影中的吃鸡大神，在现实中的原型叫马恺文。

马恺文被誉为华裔赌神名号，凭借团队和数学，在赌场大赚500万美元从而名震算牌界。

马恺文在MIT读大三时，是个品学兼优的三好学生。

一次他受邀参加一个21点算牌兴趣组，原以为这只是一个以21点为攻略对象的数学研讨小组，却不料上了贼船。

马恺文天赋异禀，很快受到神秘教授（从没有人愿意透露他的身份）的认可，成为了小组的核心灵魂。

马恺文（左）

随后，被选召的孩子们在教授的带领下，开始到赌场实践。

他们不断打磨技术、调整策略，终于走上赢钱道路。

第一次赢钱时，马恺文还给自己买了块2000美元的手表，一直保留至今。

他们将赌场当提款机，每周就带着10万美元去赢几十万美元。

赌场也不傻，他们很快被列入黑名单，经常一进场就被服务员“请出”赌场。

为了继续提款，他们只得乔装打扮混入场，有时是穿金戴银的土豪、有时是下班发泄欲望的职员……

在90年代中期，他们就以20来岁的年纪享受在宾馆里数钱为乐的生活。

但Blackjack Team所使用的技巧并非什么绝密神技。

只需将21点的游戏，细细拆分便能理解。

之所以将21点说成是赌场最容易赢钱的游戏，是因为在掌握最佳策略的情况下，玩家胜率高达49%。

而最佳策略也不难掌握，其实就是“算概率”。

以下计算部分，对数学很暴躁的请跳过看图。

假设玩家初始牌点数为12点，庄家明牌为7，计算拿牌与结束拿牌两种选择的胜率。

①选结束拿牌（Stand）时，获胜情况仅一种：

庄家爆牌，设概率为P（S）

庄家的另一张牌有13种可能性，概率计算如下

F（T+7）时，庄家不抽牌则不爆牌，不考虑

（以T代表10、J、Q、K）

F（9+7）时，抽中6~T则爆牌，F（9+7）=8/13

……

以此类推，最终P（S）=∑F=0.26231

②选拿牌（Hit）时，获胜情况两种：

庄家爆牌，玩家不爆；庄家玩家均不爆牌，但玩家更大，设概率为P（H）

爆牌概率同上，但还得算上玩家情况，即（1-4/13）

不爆牌获胜，则有以下可能

1.玩家拿到21点，庄家拿到20~17点

2.玩家拿到20点，庄家拿到19~17点

3.玩家拿到19点，庄家拿到18和17点

4.玩家拿到18点，庄家拿到17点

以最简单的情况4作计算

先分析，玩家从12到13，只有抽到A一种可能

因此设W（12）=1

则W（13）=W（12）*1/13=0.07692

以此可推算W（18）

而庄家拿17点，用同理可算Z（17）

P4=W（18）+Z（17），同理可算P1、P2、P3

P（H）=P1+P2+P3+P4+P（S）*9/13=0.43577

对比，P(H)>P（S），因而当玩家手牌为12，庄家明牌为7时，应该选择Hit为最优策略。

所有情况下的选择（点击大图）

最优策略能帮玩家做出正确选择，将胜率拉至49%，数学的威力可见一斑。

但明眼人肯定能发现，最优策略也不是很好。

不仅将抽所有牌概率当作1/13，同时最优策略胜率也不能保证50%以上。

有什么方法可以再提高一下胜率？这个问题也困扰了不少数学家。

Blackjack的战术——高低数法是最先突破瓶颈的。

高低法确实诞生于MIT，但不是马恺文的杰作。

真正的发明人同样传奇，是MIT教授爱德华·索普。

就是他开启了数学虐21点的时代。

爱德华·索普（Edward Thorpe）

索普始终认为，数学是解开赌博的最终密钥。

真正开启21点之路的是一篇论文：《二十一点扑克游戏的最佳策略》（Roger Baldwin著）。

按Baldwin的策略估测，以1美元一把下注，玩1000把也只用交给赌场6美元手续费。

索普一学会这套方法，就奔赴拉斯维加斯大展身手，结果吃了好几个月的土。

他决定改进Baldwin的方法。

在香农的建议下，他研究出制胜秘诀1.0，还发表了论文《财富公式：二十一点的制胜秘诀》。

这时纽约最大的庄家找上了他，决定投资他。

他毫不犹豫的答应了，居然真的赢出第一桶金。

随后他写了一本书《战胜赌场》，内容以数学研究为主，将高低数法公诸于世。

所谓高低数法（H-L法）说起来很简单。

将2~6记作1，7~9记作0，T、A记作-1，通过简单的加减法快速记住场上牌的变化。

而高低数法认为，当余下的牌中，大牌越多，则对玩家有利（庄家更容易拿到大牌而爆牌），反之亦然。

例如已经出现了，4、9、10、5、J、A、8，则现在点数是-1，逆风局。

在实际运用中，还需要计算真数，真数=点数/N副牌。

如点数为5，而庄家共使用5副牌发牌，则真数为1。

真数越大赢面越大，真数越小则赢面越小。

因为索普的一本书，当时许多人都去赌场博21点。

不过赌场有意防范，真如索普一样封神的并不多。

而且高低数法只不过提高了2%的胜率，只有掌握好压注技巧，才能保证一定回合后不亏钱。

就算是Blackjack team，也是经过大量训练，才有可能赚个盆满钵满。

2004年黑杰克锦世界标赛

其实，不论是最优策略，还是高低数法，都是为了削弱庄家优势。

庄家优势是指在长远期限下，庄家占有数学优势，以确保赌场最终赚钱。

尽管每一次游戏的结果都是随即或是说相互独立的，但总的来说，会趋向一个预期值，或称假设回扣。

这也就导致，尽管短期可能赚钱，但长期来说还是会趋向于亏本。

黑色直线以上为赚以下为亏，蓝色斜线为假设回扣

为了减少这种庄家优势，数学就派上了用场。

通过正确的决策思维，规避不必要的错误，夺取百分之几的优势。

但这百分之几投映到长远期限下，回报很惊人。

可以说，这就是数学家与赌场数学的一场博弈。

谈及数学的博弈，自然不可避免提到凯利公式。

凯利公式由约翰·凯利于1956年在《贝尔系统技术期刊》发表。

凯利公式是为了计算下注比例，当知道获胜率与赔率，可以推算出下注比例以求最大化收益。

John Kelly与他的凯利公式

凯利公式的要点就在于如何推算获胜率。

因此凯利提出凯利公式时，就建立在有内线提供获胜率情报的情况下。

但这个公式硬是被他的同事索普运用在21点上。

索普不需要内线，用高低数法自己推测情报。

推算获胜率，给出最佳下注比例，大赚一笔。

数学家凭借异乎常人的计算能力自然能与赌场较量一番，同时也说明了一件事：

神仙打架，凡人莫近。