关于多项式展开项数问题之经验分享

首先，我想说的就是，通过这题，对这题的掌握，可以使不懂插板法的朋友，多少对插板法有点印象。

下面说的多项式展开项数就用到插板法这个原理。呵呵，希望对大家有用。

要说用到插板法，就先必须讲讲什么情况可以用到（引用军团云淡）：

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。

应用插板法必须满足三个条件：

（1）这n个元素必须互不相异

（2）所分成的每一组至少分得一个元素

（3）分成的组别彼此相异

插板法的条件用我的话说就是这样：

（1）数量多的元素相同

（2）数量少的元素不同

（3）数量少的每个元素至少要有一个数量多的元素

举个很普通的例子来说明

把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？

问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，C7 2 =21

既然今天是讲多项式的展开项数，又鉴于云淡大哥已经有总结过插板法的方法，所以言归正传，继续多项式展开

接下来看例题：

（X+Y+Z）^10的项数是多少？

A 55 B 66 C 78 D 91

这道题，很多朋友对这题可能会想到高中时的多项式分解，的确，那样做可以，但今天飞飞我在这里要讲的就是，还有更简便的方法。

我们先看看这第一种方法：

(x+y+z)^10 =C0 10*(x+y)^10+ C1 10*(x+y)^9*z+…+ C9 10*(x+y)*z^9+ C10 10*z^10

(x+y)^10有11项

(x+y)^9*z有10项

…………

一起有11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66项

在这里

我在浙江版上就简单的说了利用插板法，直接C12 2=66

但为什么是用插板法呢？

（A+B+C+D+……+N）^M 括号里面有N项

下面是我归纳的公式：C[（M+N-1），（N-1）] 你们用任何项数和任何次方去代，都是可以。

看到这里我们是不是看到有点像是插板法的感觉了呢？

但为什么就是插板法呢？

继续看

以例题为列子：

（A+B+C）^10，展开的项数的多少？

这时，N=3，M=10

这题可以转化成，有10个相同的苹果，放到3个不同的盘子里，有几种方法？

而这距离插板法的第三点条件“至少一个”还差了点，因此，这题还得用苹果法”将其转变

假设原来的3个盘子里已经有了3个和外面10个相同的苹果了，所以此时的苹果总数变成了10+3=13个

现在已经满足了“至少一个”的条件，所以已经符合插板法的全部条件

因此我们看，13个相同的苹果放到3个不相同的盘子里，每个盘子至少放一个苹果，有几种方法？

13个苹果有12个空，用2块板可以将其分成3堆，也就是分放到3个盘子里，因此就是：C12 2=66

所以，多项式次方的展开项数，可以转化成插板法来做。

课后强化练习：

1、（A+B+C+D+E）^5，它的展开式的项数是多少？

2、（X+Y+Z+A+C+E+F）^3，它的展开式的项数是多少？