11课元朝的统治 导学案专题之谢英新：不懂数学发展史是通病！评部级优课《角的度量》

教育部办公厅在2019年“1社1优1科1教师”活动方案中介绍，国家教育资源公共服务平台阳光课数量已达到100万门以上，其中选拔了1万门优1优课，纳入国家平台优质教育资源部，供广大教师学习。

今天评的这节课就来自2019年度部级优课小学数学自然排序第3号，上传者来自山东省烟台莱州市双语学校，小学三年级数学教师尹晓英，“信息窗二（角的度量）”。

我早几天就看过这节课，总感觉这节部级优课有问题，但一时还抓不住评课要点，就决定先先放一放酝酿一下。先评其它。今天再看课堂实录，回想课堂细节，终于找到评课切入点。原来授课教师难以把握的一个问题是“为什么非要度量角度？”通常来说，能够提出有效问题来，连续追问“为什么”才能有效进入到数学学习路径。

但是遗憾的是，由于许多一线教师不懂数学发展史，忽视科学发展史。无法面对来自学生的连续提问“为什么？”，因此在教学过程中受到很大局限性，真的是“理屈词穷”。一线教师对一些专属名词术语等词汇的定义无法精确把握，词汇量及其有限。导致教学过程中不得不使用一些宽泛词汇，导致概念模糊，知识点的内涵外延等解释不清，语言词汇突兀，弄得学生一愣一愣的，丈二和尚——摸不着头脑。

并且教师授课过程中，授课教师对知识讲授不能够完整系统，既缺乏科学性也缺乏故事性趣味性，课堂教学乏味。学生学习兴趣极低，也因为听不懂，渐渐失去学习热情，加之强制作业，这就是学生厌学的主要原因之一。

接下来我就来评一评这节部级优课《角的度量》，分析一下这些问题的成因，和具体解决方案。

部级优课《角的度量》

老师开课：今天，老师想带大家去工地看一看，找一找，你能发现哪些数学信息？学生：我发现挖掘机挖掘的时候形成了一个角的。老师：你发现了角，上来指指角在哪？学生上来指出几个不同（角度的）角。

评：首先，老师第一句提起工地，我就误会成在工地能发现许多测量信息了。因为工地有许多需要测量的数据，比如地基基准高度、地平线水平位置、建筑物的平面面积、周长，地基墙面需要横平竖直（直角）、地面坡度等。结果就只看到几辆挖掘机。如果是单单提到角度，没必要提示“带着学生”“去工地”，只出现挖掘机图片就好。

其次，老师提到的“数学信息”是个什么概念？除了看到“角度”，可不可以有其它理解？这节课是小学三年级下册。比如有几辆挖掘机？挖掘机的重量、质量？挖掘机一铲挖下去能装几吨？“数学信息”这个概念，极容易引起误会。课堂实录中学生只回答“看到了角”，而不提其它“数学信息”。不知何故？是不是事先编排好的展示课不让说其它？

最后，由于授课教师不懂数学发展史，对“角”的发现、“角度”的产生、“度量”的作用、目的等通通不了解，导致授课话题匮乏。授课教师不能使用专属名词术语解释一些基本问题。例如：角度是多少度？是谁发明的？为什么必须要度量角度？所以老师只能使用“角度”（有局限性的）、“数学信息”（一个宽泛的大概念词）作为授课和对话词汇（语言）。

这个问题不大不小。说问题大吧，学生确实只局限在“角度”的“数学信息”作答。说问题小吧，可是我见过太多“跑题”的课堂（不分学科）。教师授课如果都“跑题”，那么课文本身的中心思想就难以把握了。再说什么“课程目标”都是通通在扯淡。典型的说到做不到。

这节课如果不是演练过的示范课课堂（这个很容易猜到吧？），学生极容易想起来其它“数学信息”，互动话题就跑题了！出现这样问题肯定就怨老师，怨不得学生。不论教育部、各级教育局等，亦或是专家、名师、校长、教研员，都鼓励“活跃课堂”，鼓励“把课堂还给学生”，可是授课教师哪里敢？就因为授课教师备课不足，无法提出紧紧抓住课程核心的、系列的有连贯性的有效问题，所以授课教师就牢牢把握住“课堂的话语权”，不敢让学生开放地提问题和抒发意见。授课教师有权力并且可以随时打断学生话头，学生答错就不理，学生答对就肯定，把学生回答问题的方向引入到自己熟悉的方向上来。

那么怎样做到“把课堂还给学生”？怎样设计紧紧抓住课程核心的、系列有连贯性的有效问题？在接下来的评课中，等我找到恰当的相同概念的部级优课，我会在评课文章中演示几节完整的导学课过程给你们看。既需要牢牢把握住话题方向，又要做到开放讨论，同时学生对话题的兴趣、难度等不做抵触，积极参与讨论。需要你们有耐心，等我的案例展示。

老师带学生到工地看看

接下来老师继续：刚才大家识别出这么多角，回忆一下，我们都学过关于角的哪些知识？学生：角的分类，有钝角、锐角、直角；学生：角的组成，角是由一个顶点，和两条边组成；学生：角是由一个点和两条射线组成的。几名学生分别发言，说出了全部的角的特征。

老师：好，现在就让我们以胳膊肘为顶点，以大臂和小臂为角的两边，我们一起来模拟这些角的张口情况，好不好？接下来老师手指钝角、锐角，学生模拟动作。

老师：通过模拟角的张口情况，我们体会到了这些角的大小。那么这些角到底有多大？总不能每次都这样模拟吧？太费事了对不对？那你有什么好方法，能知道这些角到底有多大呢？（老师在这里想引出“角的度量”）

老师用手臂模拟挖掘机角度

课讲到这里，我总感觉哪里不对劲。是哪里不对劲呢？我听过许多课例，老师总是直接进入主题，并不交代原因、背景、由头等。美其名曰“开门见山”。这节课算是好的，前期做了一些铺垫，虽然，终于讲到需要测量角度了。但是可惜的是，老师只是给出一个模糊的理由——总不能每次都这样模拟吧？太费事了！——原来测量角度的目的是嫌“模拟起来费事”！？这个理由太过牵强！！！

我前面评过的部级优课，老师词穷、语言匮乏、词不能达意，在一线教学过程中是常态。词穷的完整成语是“理屈词穷”。老师在交代“为什么需要度量？”这个问题上，面对学生缺乏有说服力的道理。所以才编撰出一系列的所谓“融入生活体验”（展示挖掘机）、“与学生互动课”（手臂模拟角度）的课堂活动来。

评课到这里，肯定有读者会说，谢老师你太严厉了！你这是在“吹毛求疵”，不能这样要求小学老师。我其实特别想举几个例子说明一下我这样“严厉”评课的理由。前面说过，这是一节部级优课，教育部办公厅明确指出，平台晒课数量已经达到100万堂以上，从中遴选1万堂优课纳入国家平台优质教育资源库，供广大教师学习借鉴。这是万里挑一的国家级优课，尤其经过县级、市级、省级层层选拔，供全国教师学习借鉴。

接下来我想跟各位读者探讨一些有关数学教育的专业问题。有哪一位数学老师知道“π”的取值有什么意义？初中数学专门有一节课“有理数的意义”，那么有理数到底有什么意义？高中数学2017年新课标规定函数占42课时，那么函数是做什么用的？这样简单的几个问题，有哪一位数学老师能回答出来？并且你是怎么给学生讲解清楚的？

我已经全国范围内讲座300场，听过我讲座的校长老师教研员约有10万人。我曾经一边讲座一边调研和确认小、初、高各学段数学老师，可以说能把这几个问题讲清楚的万中选一。能把其中一个问题讲清楚的也只有千分之几。难道不应该全国所有数学老师都需要会讲并且能讲清楚吗？可惜的是，现实当中没有。关于数学教学的问题，还有许多，就我知道的问题，后面评课中我会逐一指出。

也许你会说，学生知道这些有什么用？学生会算题能考高分就行了。那么我继续追问，在中国，有多少数理化高分的学生，在高等教育阶段对数学学科失去了继续学习和研究的兴趣？他们学会了数学中那些“为什么”了吗？小学没学到，初中没人教，高中老师也没讲，到了大学阶段，大学老师问：难道小学、初中、高中老师没给你们讲吗？有哪一位能老师告诉我，前面提到的这些数学问题“为什么？”，到底应该在哪个学段教？前面评课中，很多老师留言跟帖给我说数学课标如何如何，我想说的是，会背数学课标，不等于你教学中能做到。

我前面评过的几节“部级优课”都带有肉眼可见的硬伤，老师讲课各种跑题、缺乏系统知识、讲故事举例子打比方概念混淆、不知道梳理课文背景信息、就事论事不懂得升级概念，甚至地理知识错误、文史知识不足，语言匮乏词不达意。本节部级优课也是同样的毛病“理屈词穷”，授课教师根本讲不清楚为什么要“度量角度”。这样的课例怎能达到教育部办公厅要求的“供广大教师学习借鉴”高度？

现在回到本节课的评课上，这节课最大的问题就在于，授课教师说不清楚为什么要“度量角度”！那么为什么必须要“度量角度”呢？接下来我就把简单的说课导课过程给大家过一下。古人使用的犁杖是可以估算角度的，当然也需要减少偏差。因为犁铧的角度大了，耕地浅。犁铧的角度小了，耕地又深了。而且费力。

古时犁杖结构图

下图是木工的榫卯结构，就需要精确测量角度。如果角度不够精确，就做不到严丝合缝不能吻合，结构不稳定。甚至榫卯角度错位就不能插入结合。工人盖楼房，要求与地平面保持90°垂直，如果楼盖歪了，重心偏移就会倒楼。自行车车把是横向装置，与自行车顺行的角度保持90°垂直，如果自行车车把歪了，骑车不能把握前进的方向，自行车不走直线，就容易摔倒。

木工的榫卯结构

现代社会科学技术要求的精密程度已经使用微米、纳米等计量单位来描述。1 纳米=0.0000001 厘米。网上也能找到许多精密得令人叹为观止的机械装置。下图中钻头的角度要求完全垂直于加工零部件截面（我不是机械专业，不了解角度的精度数值单位，有懂的网友请留言）。贸易战导致我国需要自主研发芯片，可是却极度缺乏芯片研发人才。就目前我国应试教育体制下，这样教学水准，怎能培养出未来合格的芯片研发人才？尽管我们人口基数庞大，但是基础教育中一线教师的“思想”陈旧——教学过程中完全不求甚解——已经远远跟不上信息技术与科技时代的发展潮流。

精密仪器加工

既然需要精确测量角度，那么角度是怎样确定和规定的？

古苏美尔人（约公元前3000年）计算太阳环绕地球的轨迹用了360天完成,所以他们把圆分成360个等份。古苏美尔人在计算数字时把5个手指和一年中的12个月份结合起来，5乘以12等于60，因此产生了六十进位制。

古巴比伦人（约公元前2000年）也采用60进制的数学系统。他们应用该系统将角分成60度，6个这样的角组合在一起变成360度。与古苏美尔人的想法大致相同。

六十进制尤其受到天文学家的宠爱。由于观察到的星都非常遥远，因此角度的计算必须异常精确，否则就会导致较大误差。古希腊人从古巴比伦人那里引入了六十进制，经过大力提倡，六十进制在天文学研究中逐渐占据了统治地位。

大约公元前2000年，我国的古代的科学家就利用日影进行测量，开始计算一天有多长，影子绕着它的一个端点在平面内旋转一周，就可以计算出一天的时长来，这里的周就是圆的意思。随后通过不断累积的资料和数据，元朝的郭守敬采用了祖冲之的做法，6个冬至点数据，得出回归年为365.2425天的结论，现代测量值则为365.2422天。我国古代科学家也得出与360°的相近值。

日冕

后面的故事发展到，由毕达哥拉斯（古希腊数学家、哲学家，约公元前580-公元前500年）提出地球是圆的，由此引出地球的经度、纬度问题。地球经度合计为360°，地球纬度合计为180°。十四世纪初欧洲发明了机械钟计时装置，继续沿用60进制。钟表的表盘就是一个完整的圆周，分为360刻度。钟表的普及，逐渐发展成为人人皆知的常识性概念。

“角的度量”这节课，还应该简单解释“度量”一词。“度”字的本义为伸张两臂量的长短，引申指计量、揣测等意思。“量”的意思是用量器计算容积或长度。“角的度量”就是测量角的大小有多少度。关于教学过程中的“名词解释”，我留在其它评课课例中详细解读其中必要性。

接下来回到本节部级优课，这时候的教学阶段，才走到具体怎么测量？使用什么工具测量？这一步。课堂实录中，授课教师带领学生仔细识别半圆量角器的各个部位，加上学生的各种讨论，编排好的示范课已经细致到学生能通过“研究发现”指出量角器每一个细节部位的学名来。或许是这一段比较细致，才评为部级优课。

但是我看到的是更长远一些的考量，我国基础教育中数学教育这么强，我听说学生参加国际赛事每每拿到国际奖项。那么我国批量出现了数学家吗？我国各个研究领域缺乏数学人才吗？这么多数学满分的高考生，未来要从事研究数学学科吗？这些问题我没有答案。我现在只知道一件事：就是在基础教育阶段，没有人教授他们数学思想！

我在前一篇评课文章里，提到，数学思想，提到数学眼光，有老师留言煞有介事地提醒我，数学课标中就有“数学眼光”，“数学思想”。好像说到了就能做到似的！我想说那些也只是说说而已，那是口头禅，那是在喊口号，其实根本就没做到。

在我国基础教育中，真正能做到具有“数学思想”的课堂，我猜测万分之一都没有。中国有1700万教师群体，其中高中以下约1300万，数学教师比例以20%计算，数学教师数量有260万。万分之一就是260人。接下来再问一句：我国数学教育的专家、教授、研究员、名师有多少人？2000人？200人？20人？那么，你听谁的课堂上讲过和讲清楚过π是什么意思？有理数的意义到底是什么？函数是做什么用的？

以上数据是我抛出来的问题和胡乱猜测，只从我接触过的课堂和培训调研人群出发，我单纯认为我接触过的课堂、教师，从统计学意义来说，已经足够取样数据。但这不够科学，我只能做简单定性分析，没能够量化。我没有条件作出全面统计。今天提出问题来，希望有条件研究的后来者，取得科学数据。去验证或推翻我这个说法。