111是质数还是合数，干货看这篇!小于自然数M内孪生素数的对数一一孪生素数猜想证明的应用

双胞胎少数都成对出现。小于给定自然数M，M的双胞胎小数有多少对？

(一)本文的计算方法基于孪生素数猜想证明中的以下结论。

a、非1奇数有奇数，2n ^ 1两奇数被定义为同核奇数，N是他们的共同核。

b、同核奇数只可能是三种形态：1、同核的二个奇数皆为合数。2、同核奇数中一个是合数、另一个是素数。3、同核的两个奇数都为素数，称为“同核素数〞、也就是学界的孪生素数。

C、根据b、中2、同核奇数中一个是合数另一个是素数得出的推论：单体素数即学界认为除孪生素数外的所有素数、所有单体素数核一定存在于对应的合数核中。进一步得出的推论是：只要将所有的合数核去除后、则包含在合数核中的单体素数核也同时去除。

d、由c推论：“同核素数”即孪生素数的核一定存在于所有合数核以外的非零自然数N*中，而且有无穷多个。逻辑如下：非1奇数只可能为合数、单体素数、孪生素数，所以奇合数核也只可能是这三种核；非零自然数N*(1、∞)中每个数均可成为奇数核、全部自然数N*不可能都是合数核、所以自然数N*中去除合数核后、其余的都是孪生素数的核、（因为单体素数的核在去除所有的合数核时也同时被去除）。一个核产生一对孪生素数。

e、由6列完美等差数列群、可以直接推出、所有素数最终形式为6n±1、孪生素数当然也存在于6n±1之中、6n±1去掉1除以2得出核为3n、即所有孪生素数核一定存在于3n中。

(二)给定一个自然数M、在小于M这个数值内有多少对孪生素数呢？

例子：自然教111、小于111的孪生素数有多少对？

1、111中有多少奇数核？n=(111-1)/2=55个，加强直观理解、可以验证n=1、2、3、……55、则奇数为3、5、7……111。

2、我们知道所有非零自然数N*都可以成为奇数核，而全部自然数N实质是由3列完美等差数列群组成：3n、3n+1、3n+2(n∈N)，分别对这三列等差数列的性质进行研究、可以得出：3n+1、3n+2、（n∈N*）二列无穷等差数列的每个值全部是合数核的值，(参看以前发表的孪生素数猜想证明的文章)。所以只需研究3n(n∈N*)这一列等差数列、若能把3n这列奇数核等差数列中所有的合数核找出来、那么剩下的就必然是孪生素数的核、一个核值一对孪生素数。

3、3n中肯定不存在3n+1和3n+2的值、但是存在其它的合数核。3n=5d+2、n=(5d+2)/3、n有整数解必须d=3t+2、得n=5t+4（t∈N、即t可以等于0）；在限定的55个奇数核范围内、3n最多只有18个奇数核、即n=18、可見n=5t+4=18、t=2、即t=1时n取值在18之内、t=2时n取值也在18之内、考虑还有t=0也符合要求、所以在5t+4中有2+1共3个合数核。这三个合数核分别是5t+4中t=0、1、2、此时3n合数核中的n为4、9、I4。同理、3n=5d+3、当d=3t时n有整数解、得n=5t+1(t∈N*即t≠0)、n=5t+1=18、t=3、共三个合数核。这三个3n合数核的n分别是6、11、16。问题到此并没有结束、因为3n中还有其它形式的合数核(具体情况请参阅以前已证明并发表的文章)。3n=7d+3、n有整数解则d=3t、则n=7t+1（t∈N*）.7t+1=18则d=2、即3n中7d+3形态的合数核共有2个他们3n合数核中的n分别为8、15。同理3n=7d+4、必须d=3t+2时（t∈N、即t可以为零）即n=7t+6=18、d=1、加上d=0时也在取值范围内所以3n合数核中的n共有二个即6、13。

4、现在共得到3n为合数核的n值共4组：4、9、I4；6、11、16；8、15；6、13。其中不难发现出现两个6、舍弃一个、这是在计算5d+3和7d+4时形态合数核时重复了一个、必须舍弃。这样最后3n中成为合数核的n就剩下9个：4、9、14、6、11、16、8、15、13。他们的3n合数核为：12、27、42、18、33、48、24、45、39。

5、最后我们得到在111这个自然数内共有55个奇数核、但3n中n值最多只有18个(55/3=18)，而这18个中有9个是合数核、所以剩下的就是18-9=9、这9就是孪生素数的对数、即不大于111这个数内存在9对孪生素数。再详细看一看具体数字：

111这个数、它的55个奇数核内存在18个3n值为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54。其中：12、27、42、18、33、48、24、45、39、共9个合数核、这9个合数为：25、55、85、35、65、95、49、51、77。

剩下的9个为孪生素数核：3、6、9、15、21、30、36、51、54。这9对孪生素数为：5、7；11、13；17、19；29、31；41、43；59、61；71、73；101、103；107、109。

(三)、从上例看出解题思路很简单、从1到∞所有正整数N*都是奇数核、3n+1、3n+2所有n值代入后全部是合数核、唯一要做的是从3n这个数列中找出内藏的合数核，在M这个数确定的范围内把3n奇数核中的所有合数核找出来剩下的就是孪生素数的核。

1、给定自然数M、算出M内的奇数核c、c=(M-1)/2(M为奇)或c=M/2(M为偶)。

2、在3N中算出容纳奇数核个数：N=c/3。（防止与下述n混淆3n换成3N）。

3、找出在3N中可能存在合数核的各个形态：下面是2n+1形态的合数核

(5n+2)、(7n+3)、(11n+5)、(13n+6)、(17n+8)、(19n+9)、(23n+11)、(29n+14)、(31n+15)、(37n+13)、……[Pi×n+(Pi-1)/2]（Pi中的i为序数下标、P为素数；n∈N*）

用3N分别与上述每个小括号表达式相等、算出3N中每个合数核数量N表达式、他们是：N=

(5t+4)、(7t+1)、(11t+9)、(13t+2)、(17t+14)、(19t+3)、(23t+19)、(29t+24)、(31t+5)、(37t+6)、……(A)

同理2n-1形态的合数核为：

(5n+3)、(7n+4)、(11n+6)、(13n+7)、(17n+9)、(19n+10)、(23n+12)、(29n+15)、(31n+16)、(37n+14)……

同理用3N分别与上述每个小括号表达式相等、算出3N中每个合数核的数量N表达式、即N=

(5t+1)、(7t+6)、(11t+2)、(13t+11)、(17t+3)、(19t+16)、(23t+4)、(29t+5)、(31t+26)、(37t+31)……(B)

关于t的取值范围：在例中看出、在不同场合、t=0或t≠0。在3n=5d+2时n=(5d+2)/3、只有d=3t+2时才有整数解n=5t+4、我们知道5d+2中d的定义域是不能为零的、所以d=3t+2中t=0、d=2并不为零所以此时的t可以为0。在3n=5d+3、d=3t才有整数解n=5t+1、此时如果t=0则d=3t=0不符合d的定义域不能为零的规定、所以t≠0。这样就决定了(A)、(B)、中只要KX+b中常数项b<K/2、则t≠0而b>K/2的可以t=0。

4、剩下的就是简单计算、对于较小的M、几步计算就可111、c=(111-1)/2=55、N=c/3=18。5t+4=18、t=2、即t=1、t=2、因为4>5/2所以t=0、得到N=4、9、I4

5t+I=18、t=3即t=1、t=2、t=3代入得到N=6、11、16（1<5/2、t≠0）

7t+6=18、t=1、因为6>7/2所以t=0、得到N=6、13

7t+1=18、t=2得到N=8、15(1<7/2、t≠0)

计算得出N共10个合数核、去掉一个重复的6、实质上只有9个合数核、孪生素数核为18-9=9

后记：1859年黎曼“论小于某数的素数个数”一文发表这就是著名的丌(x)的提出、为了解决此问题推出了Zeta黎曼函数、后来数学家们得出了素数定理：丌(x)～x/Inx（x→∞）1949年数学家塞尔伯格用初等方法证明了素数定理。但至今世上仍没有一个精确求解公式和具体计算途径、可见这个数学问题的复杂性、艰巨性。

今天我提出的这个方法、在计算数值较小的M时、还是十分实用的、但M值很大后、计算的时间十分长、十分繁琐、关键的难点是如何去除重复的合数核。现在我采用的是N值列出后进行分辨。当然在计算机编程如此发达的今天、通过编程还是能解决大M计算难度的、至少有这么一条途径可以精确计算M数以内的孪生素数对数。非专业人士文章、难免差错、请多包涵、也望高手不吝赐教、斧正。