贝塔分布 概率论之贝塔分布

假设一个概率实验只有两种结果，一个是成功，概率是X，另一个是失败，概率为(1-X)(1−X)假设一个概率实验只有两种结果，一个是成功，概率是X，另一个是失败，概率为(1-X)。其中，X的值我们是不知道的，但是它所有可能的情况也是等概率的。如果我们对X的不确定性用一种方式描述，那么，可以认为X是一个来自于[0,1]区间的均匀分布的样本。这是很合理的，因为X只可能是[0,1]之间的某个值。同时，我们对X也一无所知，认为它是[0,1]之间任何一个可能的值。这些都与[0,1]均匀分布的性质契合。现在，假设我们做了n次独立重复的实验，我们观察到k次成功，n-k次失败。这时候我们就可以使用这些实验结果来修订之前的假设了。换句话说，我们就要计算X的条件概率，其条件是我们观察到的成功次数和失败次数。这里计算的结果就是Beta分布了。在这里，在总共n次实验，k次成功的条件下，X的条件概率是一个Beta分布，其参数是k+1和n-k+1。

在棒球运动中，有个叫平均击球率的概念。就是用一个运动员击中棒球的次数除以他总的击球数量。一般情况下，棒球运动员的击球概率在0.2660.266左右。高于这个值就是不错的运动员了。假设我们要预测一个运动员在某个赛季的击球率，我们可以使用已有的数据计算。但是在赛季刚开始的时候，他击球次数少，因此无法准确预测。比如他只打了一次球，那击球率就是1或者0，这个显然是不对的，我们也不会这么预测。因为我们都有一个先验期望。即根据历史情况，我们认为一个运动员大概的击球率应当是在0.215到0.360之间。因此，当一个运动员在赛季开始就被三振出局，那么我们可以预期这个运动员的击球率可能会略低于平均值，但他不可能是0。那么，在这个运动员的例子中，关于在赛季开始的击球情况，可以使用二项式分布表示，也就是一系列击球成功和失败的实验（假设之间相互独立）。同时，我们也会给这个数据一个先验期望（即统计中的先验知识），这个先验的分布一般就是Beta分布。这里的Beta分布就是用来修正我们观测到的运动员的击球率的（简单来说就是即便开始这个运动员被三振出局了，我们也只会预测他的击球率可能低于平均水平，但不会是0）。