欧拉线 看看这些数学领域的全才们，是怎么称霸世纪的

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首先，我们来看看什么是数学通才。基础数学的研究基本上可以分为五个部分:分析、代数、数论、几何、拓扑学。各部分之间差别很大，但也会有一些联系。我们所说的“数学全才”，就是在这几个部分都有很大成就的数学家。

1.艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨——微积分的创始人

我们可以从微积分的两位创始人牛顿和莱布尼茨开始。受限于时代环境，17世纪中叶的数学分类远非全面，更确切地说，甚至属于数学的自然科学也没有完全脱离哲学的殿堂。著名的牛顿第二定律记载在《自然哲学的数学原理》一书中，就是很好的证明。当时很多数学成果可能还是今天的一些基本认识。同时，这些成果分类不清，便于数学家跨境研究。从这个角度看，像牛顿、莱布尼茨这样的大师似乎有“钻了空时代之子”的嫌疑，但不要单纯用今天的眼光去评判老年人。毕竟，目前来看，这是一个划时代的开创性成就，深深影响着我们的未来。

图2牛顿和莱布尼茨

17世纪微积分建立之前，数学还处于初等数学的成熟阶段，研究对象多为常数关系，具有独立数形的特点。微积分的出现标志着进入变量时代，它已经成为数学发展中的一个重要分支——数学分析，并将进一步发展为微分几何、微分方程等。现在现代数学的建设也是建立在微积分的基石上。这样，“数学全才”的称号是牛顿和莱布尼茨当之无愧的。

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当然，除了微积分的杰出成就之外，他们在数学史上留下了许多宝贵的财富:18世纪初牛顿在《普通算术》中论述了代数基础及其实际应用，1736年在《解析几何》中提出了曲率公式等重要的几何成果，并提出了二项式定理等对分析和方程有重大意义的定理；莱布尼茨还研究过复数、线性方程、符号逻辑等等。

第二，莱昂哈德·欧拉——数学中的莎士比亚

欧拉是科学史上最多产的数学家，在数学上被称为莎士比亚。据统计，他不知疲倦的一生写了886本书和论文，其中分析、代数和数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占14%。彼得堡科学院为了整理他的作品忙了47年。18世纪在数学史上被称为“欧拉时代”。

图4欧拉和圣彼得堡大学

由于他的巨大成就，历史学家将欧拉与阿基米德、牛顿和高斯并列为数学史上的“四大大师”。如今，欧拉的名字几乎可以在数学的每个领域看到——初等几何的欧拉线、三维解析几何的欧拉变换公式、数论的欧拉函数、微分方程的欧拉多边形曲线、复变函数的欧拉公式...1748年，欧拉以他的第一部沟通微积分和初等数学的分析著作——《无穷小分析导论》获得“分析的化身”称号；1776年发表《曲面上的曲线研究》，这是欧拉对微分几何最重要的贡献，也是微分几何发展史上的里程碑。1748年，欧拉提出欧拉恒等式，建立了数论与分析的联系，使用微积分研究数论成为可能。欧拉成为解析数论的创始人。

图5四位数学大师

说起欧拉，他晚年的数学创业史是一部令人难忘的人类奋斗史。欧拉失明后，口述内容，学生和儿子写，以这种极其困难的方式坚持了17年。不可思议的是，这一时期完成的数学成果相当于他一生研究成果的一半。同时，在这段时间里，欧拉仍然坚持培养学生。他以自己在欧洲的高尚品格和渊博学识为荣，被欧洲所有数学家视为最受尊敬的老师。拉普拉斯曾经说过，“欧拉是我们的导师”。

第三，约翰·卡尔·弗里德里希·高斯——王子的骄傲

18世纪的欧拉成了数学上的“噩梦”。很多人研究了半辈子的问题，却发现欧拉早就解决了。而数学家开始忘记欧拉主导的恐惧，上帝派高斯。如果你对高斯的印象还停留在解老师苦思良久的N项之和，用正七边形尺子画图，那就不够了。毕竟这些只能算是高斯青年的前功尽弃。

图6高斯

高斯是个多面手数学家。他的数学研究几乎涵盖了所有领域，如数论、代数、非欧几何、复变函数、微分几何等。以他的名字“高斯”命名的成果多达110项，在数学家中是最高的。高斯首先证明了“二次倒数定律”，开辟了数论中“代数数论”的全新领域。1801年的《算术研究》一书奠定了现代数论的基础；《曲面的一般研究》一书系统地阐述了空之间曲面的微分几何，包括高斯曲面等。......

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高斯的精彩故事远不止这些:比如雅可比在椭圆函数领域做了大量的研究工作，然后他把自己的研究成果展示给高斯，但高斯每次都能从办公桌上拿出一堆手稿，向雅可比证明“你刚才说的我已经发现了”；高斯也是最早怀疑欧几里得几何的人之一。1833年左右，匈牙利数学家乔治·w·波尔约独立发表了非欧几何。老波尔约送高斯他儿子的成就，没想到高斯回信了:我不能夸他，因为夸他就是夸我自己。因为高斯声称他在30年前得到了同样的结论，他没有发表，因为他与同时代的人相反。

第四，亨利·庞加莱——最后一位全才数学家

庞加莱是19世纪末20世纪初公认的领先数学家，也是最后一个对数学及其应用有全面了解的人。庞加莱的研究涉及许多领域，如数论、代数、几何、拓扑学、数学物理、多元复变函数理论等。他在数学方面的杰出工作对20世纪和今天的数学产生了深远的影响。那有人曾经说过:把一个微分几何学家和一般相对论者从睡眠中摇醒，问他庞加莱引理是什么。如果他答不出来，那他一定是假的。当然，最重要的是最近引起轰动的庞加莱猜想。

图8庞加莱

在大学里，庞加莱很欣赏伽罗瓦的伟大作品，所以他学习他的作品和李群的知识。这使得庞加莱不仅看到了群论在研究方程中的作用，也认识到了伽罗瓦理论在揭示几何、代数和数论之间更深层次的内在联系方面的意义。同时，喜欢新思想的庞加莱也注重罗巴切夫斯基等人的非欧几何，以及柯西和黎曼的复变函数。这种在大学里广泛的兴趣和学习，为庞加莱以后在很多方面的贡献打下了坚实的基础。

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大学毕业后，庞加莱选择了工科，但凭借他强大的数学功底，很快在微分方程领域取得了成就，获得了卡昂大学讲师、后来巴黎大学教授的职位。在研究微分方程的过程中，庞加莱开始关注自同构函数。虽然受到时代的批判，但数学的发展表明，庞加莱的自治函数理论揭示了分析与几何、代数、数论之间深刻的内在联系，充分体现了数学的统一性，对现代数学的发展产生了很大的影响，使庞加莱成为自治函数理论的创始人之一。利用自同构函数和后三体问题对微分方程稳定性的研究使他成为法国科学院院士。之后，庞加莱研究了拓扑学，创立了拓扑学的一系列基本方法和概念，提出了同调群、基本群等重要的拓扑不变量，几乎一人完成了早期拓扑学的创建，可谓是一大贡献。

5.大卫·希尔伯特——无冕之王

经过慎重考虑，我决定加希尔伯特，一个数学大牛。被称为“数学无冕之王”的希尔伯特，在20世纪初开创了数学大发展的时代。他在20世纪初提出的23个数学问题被认为是20世纪数学的最高点。此外，他还领导了德国哥廷根学派，使其成为当时世界数学研究的中心。

图10希尔伯特

希尔伯特对数学的贡献是多方面的。他的研究领域包括代数不变量、代数数域、几何基础、变分方法、积分方程、无穷维空、一般数学基础等。当然，影响最大的贡献是著名的几何基础和“23个数学问题”，它们贯穿了20世纪乃至现在的整个数学，其深远的影响是不可估量的。

图11重力方程

希尔伯特的众多故事中，有一个与广义相对论有关。爱因斯坦在研究广义相对论的时候，当时需要深入、前沿的数学理论，所以找不到正确的方程来描述引力。于是爱因斯坦找到了希尔伯特，和他讨论了广义相对论。作为一名数学家，希尔伯特凭借其高超的数学技巧，通过变分原理迅速推导出了引力场方程的正确形式。但希尔伯特并没有和爱因斯坦争夺发现引力场方程的优先权。希尔伯特曾经说过，“哥廷根的任何一个孩子都比爱因斯坦更懂黎曼几何，但爱因斯坦是唯一发现相对论的人”。可见希尔伯特的胸怀和对哥廷根的信心。

数学发展至今，体系不断壮大，数学内部的分工也越来越细化。然而，当我们回顾历史时，我们总能发现牛顿、莱布尼茨、欧拉、高斯、庞加莱、希尔伯特，以及许多著名的杰出数学家，如笛卡尔、黎曼、安德雷·柯尔莫哥洛夫等。，已经广泛涉及数学的许多方面。分析、代数、数论、几何、拓扑学，以及不同思维的相互启发和印证，对于数学的研究是非常重要的，另一方面，我们呼吁培养和探索更多像笛卡尔、牛顿、庞加莱这样的天才数学家，他们能够指导一个时代的数学发展。

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