最小的正整数是几 满足条件的自然数最小是多少？

大于10的自然数，除以5和3，除以7和1，除以9和8；那么，满足条件的最小自然数是多少？

分析:

余数定理中的一类中等难度问题。

从难度上，大致可以分为以下几个层次:

1、最简单的:

除以 5 余数是 0，除以 7 余数是 0， 除以 9 余数是 0： 此时，就是一个最小公倍数的问题！ 同时是 5、 7、 9 的倍数，那最小公倍数就是： 5×7×9＝315

2.难度略有提高:

除以 5 余数是 1，除以 7 余数是 1， 除以 9 余数是 1： 此时，如果是把这个数减掉 1，得到的这个新的数字，就会转换成最小公倍数的问题！ 减掉 1 之后得到的新的数字同时是 5、 7、 9 的倍数，那就是： 5×7×9＝315所以，原来的这个数字最小就是： 315＋1＝316

3.难度和第二个差不多，但是看起来没那么直观:

除以 5 余数是 4，除以 7 余数是 6， 除以 9 余数是 8： 此时，余数看上去是不同的，但是如果是把这个数加上 1，得到的这个新的数字，也会转换成最小公倍数的问题！ 加上 1 之后得到的新的数字同时是 5、 7、 9 的倍数，那就是： 5×7×9＝315所以，原来的这个数字最小就是： 315－1＝314

4.困难又提出来了，这就是现在的问题:

除以 5 余数是 3，除以 7 余数是 1， 除以 9 余数是 8： 此时，余数不同，而且要补成倍数的值也不同： 整除 5 要补 5－3＝2整除 7 要补 7－1＝6整除 9 要补 9－8＝1 这个时候，就有两个方向了： 从原来的数字里面往外拿： 整除 5 的话，可以从原来数字里面拿出来： 3、 3＋5＝8整除 7 的话，可以从原来数字里面拿出来： 1、 1＋7＝8整除 9 的话，可以从原来数字里面拿出来： 8、 8＋9＝17这个时候，就可以发现，出现了一个共同的数字： 8 也就是说： 减掉 8 之后得到的新的数字同时是 5、 7、 9 的倍数，那就是： 5×7×9＝315 所以， 原来的这个数字最小就是： 315＋8＝323 另外一个方向就是： 往原来的数字里面补： 整除 5 的话，需要补的是： 5－3＝2、 2＋5＝7、 7＋5＝13、……整除 7 的话，需要补的是： 7－1＝6、 6＋7＝13、 13＋7＝20、……整除 9 的话，需要补的是： 9－8＝1、 1＋9＝10、 10＋9＝19、……很明显，这个方向上要找这个共同的数字的话，就不明显了实际上，要找到的话，一定是： 315－8＝307真要这么找，要耗费相当长时间了

5.如果再提难度，就是:

不管是往外拿，还是往里补， 试算了四、五个之后，两个方向都找不同相同的数字这个时候，就要： 用上另外一种方法了 这类问题，明天再来看一起看一道题