错排公式 神奇的错排问题

小拼图世界

有一个经典的数学问题:

a和B各持一套牌，背朝上，打乱。然后每人打一张牌比较大小，打了13轮，试图找出这13轮中不同点的概率。

这个问题看似简单，其实并不容易。为了解决这个问题，我们先来看另一个小问题——1，2，3，4。从左到右，我不能放在第I个数字里。有多少种方式？

分析

答案是9种:

那么如果把数字从4改成5，6 …甚至N该怎么办呢？

如果像刚才那样一个个列出来，你会发现，当数量增加时，情况会变得极其复杂，这种做法已经不可行了，所以我们需要一种更简单的方法——比如寻找递归公式。

对于n个元素的错置数，我们用D。

第一步是把第一个元素放在其他某个位置，总共有n-1种放法；

第二步，如果第k个元素放在第一个位置，那么就有D播种法；否则有D播种法。

综上，D = 。特别是D = 0，D = 1。

然后，利用这个递推公式，我们可以得到n个元素的交错公式:

当n是2，3，4，5，6时...，D的值是1，2，9，44，265...

位错的公式可以进一步简化为D = ，其中e为自然对数的底数，为向下舍入符号。这个问题叫做错位问题。它最初是由尼古拉·伯努利和欧拉研究的，所以在历史上也被称为伯努利-欧拉加载错误信封问题。

使用上面的简化公式，可以很容易地解决本文开头的问题。所需的概率是:

P=/n！=/13！=0.36787944116…

已经非常接近1/e了...).

接下来我自然想到一个问题，是P的极限吗？我们从n=2可以看出，随着n的增加，p似乎总是越来越接近1/e:

直觉上也是如此——随着n的增加，+0.5和四舍五入符号的作用越来越不明显，整个公式越来越近/n！=1/e .

那你怎么证明呢？

事实上，在泰勒公式中

中等，

设x=-1，就可以得到:

证书已完成。

像这个问题，E出现在一个看似无关的地方。数学太神奇了！