更相减损术你可能遇到了假的更相减损术

一个老朋友给我发了个问题问:请把9个数字1、2、3、4、5、6、7、8、9做成不重复的4、5位数，这样:

花了很大力气做了一个小系列，终于得到了答案:

其实这个有趣的数学题不是空。被称为“塞姆罗德的书架趣味问题”，起源于美国著名趣味大师塞姆罗德。据说塞姆罗德小时候，有人送给他一套九卷本的《英国历史》。他随机把这套书放在一个双层书架上，上面一层是第6、7、2、9册，下面一层是第1、3、4、5、8册，刚好得到1/2的分数。罗兹用这九卷重新排列了它们:上层的第5、8、3和2卷，下层的第1、7、4、9和6卷。卷4、3、9、2放在上层，卷1、7、5、6、8放在下层；卷2、7、6、9放在上层，卷1、3、8、4、5放在下层；卷2、9、4、3放在上层，卷1、7、6、5、8放在下层；卷2、3、9、4放在上层，卷1、6、7、5、8放在下层；卷3、1、8、7放在上层，卷2、5、4、9、6放在下层；

卷6、3、8和1放置在上层，卷5、7、4、2和9放置在下层。只用这九个数字就可以得到七个分数，即:

当然，这个答案并不是唯一的。其实我们可以用数论中的同余法(或者用九弃法)找到所有答案:

其实这个问题是生活中的一个排列组合问题，分为八个小问题。这八个小问题中，答案数量不是唯一的，至少两个，最多46个。培养孩子的思维是一个难得的、耐人寻味的经典问题。

面对这么多巧妙的答案，除了纳闷自然数这么巧，我心里忐忑不安，忍不住问，怎么分？

也许是人数多的问题。很多孩子都不是简化的。在课堂教学中，学生大声提问会被扣几分。在应试教育的前提下，孩子有这样的想法并没有错，但是对于我这个数学有“洁癖”的人来说，我会觉得有点不舒服。我们为什么不追求完美？其实这个分数很容易看出公约数，可以更快。

人民教育A版必修3国内外求最大公约数的方法有两种:倒数相位的除法和倒数相位的减法。其实求最大公约数的方法就是分子和分母同时除以它们的最大公约数，就可以得到最简单的分数。(也可以求两个数的最小公倍数，用两个数的乘积等于它们最大公倍数和最小公倍数的乘积。)今天我们来说说我国比较多的相位损伤技术。

《九章算术》第一章“田方”记载了“多失相术”，这是公元1世纪前后中国最重要的数学文献。《算术平方场九章》第六题:“有91%。问几何？答案:三分之七。手术天数:一半或一半。对于不能对半分的，分母和子集个数要同时设置，以少减多，求其相等。用大约相等的数字”。这是对《算术九章》中近似方法的完整总结。也就是说，“更多减值”的出现，原本是为了解决近似分数的问题。

教材对多失相的解释:第一步，任意给两个正整数，判断是否为偶数。如果有，用2减；如果没有，执行第二步。

在第二步中，从较大的数字中减去较小的数字，然后将差值与较小的数字进行比较，并将该数字减少较大的数字。继续这个运算，直到得到的数相等，那么这个数(等数)或者这个数和减数的乘积就是最大公约数。

比如求120和144的最大公约数。

120÷2=60,144÷2=72

60÷2=30, 72÷2=36

30÷2=15, 36÷2=18

18-15=3

15-3=12

12-3=9

9-3=6

6-3=3

那么3×2×2×2=24就是120和144的最大公约数。

我记得我第一次教的时候学的就是这个方法。当时我也讨论过为什么会有“可以一半一半”这句话。过了一半，终于要倍增了。好像有些麻烦。其实在操作过程中完全可以抛弃这句话。叫做“子分母和子分母的个数，以少减多，以多减少，求之不得。”仍然是求最大公约数的方法。我们不妨称之为“扭减”，翻译成现代语言是这样的:任意给定两个正整数，从较大的数中减去较小的数，然后与较小的数比较差，再用较大的数减少该数。继续这个操作，直到得到的数相等，那么这个数(等数)就是最大公约数。

比如我们还是求解120和144的最大公约数。

144-120=24

120-24=96

96-24=72

72-24=48

48-24=24

那么24就是120和144的最大公约数。我们会发现这种方式使用的减法次数和比较多的相位减法一样，除2乘2的步骤比较少。那么为什么更多的减相应该是2左右呢？当然，有一种非常有利的说服，就是把大数变小，解决较小数的减法。这只是原因吗？当时我们的学科老师也在争论这个问题。不急。慢慢说吧。

先说一下为什么这个所谓的捻转减法最终得到的等数是两个正整数的最大公约数。

事实上，这是“初等数论”中的一些原理:

这种方法就变成了“轮流除法”，也被称为“欧几里得算法”。它是由公元前300年左右的希腊数学家欧几里得在他的《几何元素》一书中提出的。

也就是说，古希腊的“捻转分相”是中国古代“捻转分相减”的简明表达。两者在理论上是一致的，“辗转反侧减法”和“辗转反侧除法”显然都是求最大公约数的方法。从计算上看，除法是主要的除法；减法是失相的主要方法。在计算次数上，捻转和除法的计算次数相对较少。尤其是两个数相差较大的时候，计算次数的差别就很明显了。从结果实施的形式来看，当除法的余数为0时，得到捻转和捻转除法的实施结果。而更多的相位损伤是通过相等的缩减和差值获得的。

事实上，多相减法有其独特的优势。例如，在求四个数1008、1260、882、1134的最大公约数时，可以按任意顺序选择最方便的一个，可以从较大的数中减去较小的数。如果出现相同的余数，那么余数就是最大公约数。四次上诉的最大公约数(1008，1260，882，1134)

=(1008-882,1260-1134,882,1134-882)=(126,126,882-6×126,252-126)=(126,126, 126,126)=126。

再回头看，从手术原始记录来看更有贬义:手术日:可以是半半，也不能是半半。

数，以少减多，多相损，等等。大约相等的数字。——《九章算术卷第一方场》

如何理解这个“一半一半”。

我的理解是，多相损技术的初衷是解决除数问题，整数的奇偶性一目了然，所以首先，至于其他除数，不好判断，所以是多相损。也就是说不需要用2来近似，其他的仍然有效。例如，求1850到13875之间的最大公约数: