掐死 傅里叶分析之掐死教程（完整版）

在时域中，我们观察到钢琴的琴弦上下摆动，就像一只股票的走势；在频域，只有一个永恒的音符。

所以

在你眼里，看似薄情的落叶世界，其实只是一首早已在上帝怀抱中谱写的乐曲。

不好意思，这不是鸡汤，而是黑板上的一个确定公式:傅立叶告诉我们，任何周期函数都可以看作是振幅和相位不同的正弦波的叠加。在第一个例子中，我们可以理解，任何一首音乐都可以通过敲击不同强度、不同时间点的不同琴键进行组合。

传输中的傅里叶分析是贯穿时域和频域的方法之一。傅里叶分析可以分为傅里叶级数和傅里叶变换。让我们从一个简单的角度出发。

二、傅里叶级数的频谱

或者举个栗子，有图有真相才懂。

如果我说我可以把一个90度角的矩形波和上面说的正弦波叠加，你信吗？你不会的，就像我一样。但是看下图:

所以事实上，我们很早就接触到了光的光谱，但是我们没有理解光谱更重要的意义

意义。

但不同的是，傅里叶变换产生的光谱不仅仅是有限频率范围的可见光的叠加，而是从0到无穷大的所有频率的组合。

在这里，我们可以从两个方面理解正弦波:

第一个是螺旋线在实轴上的投影。

另一个需要用欧拉公式的另一种形式来理解:

将以上两个公式相加，除以2，得到:

这个公式怎么理解？

正如我们刚才所说，e^(it)可以理解为逆时针旋转的螺旋，而e (-it)可以理解为顺时针旋转的螺旋。而cos(t)是这两个旋向不同的螺线叠加的一半，因为这两个螺线的虚部互相抵消！

比如两个偏振方向不同的光波，磁场抵消，电场加倍。

这里我们称之为逆时针旋转时的正频率，顺时针旋转时的负频率(注意不是复频率)。

好了，刚才我们已经看到了海洋连续傅里叶变换光谱，现在想想连续螺旋会是什么样子:

想象一下再次拒绝:

是不是很美？

你猜这个数字在时域是什么样子的。

呵呵，有没有被使劲扇耳光的感觉？数学就是这种把简单问题复杂化的东西。

对了，为了方便查看，我只显示了正频率部分，负频率部分没有显示。

仔细看，海螺图上的每一个螺线都可以看得很清楚，每一个螺线都有不同的振幅(旋转半径)、频率(旋转周期)、相位。把所有的螺旋连接成一个平面就是这个贝壳图。

好了，至此，相信大家对傅里叶变换和傅里叶级数都有了一个形象的认识。最后我们用一个图来总结一下:

好了，傅立叶的故事终于讲完了。来说说我的故事:

你永远猜不到这篇文章第一次写在哪里。那是在一张高级试卷上。当时为了温习分数，重考了高数(第一部分)，但是因为时间紧，根本没有学习，就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场，我突然意识到，反正我也做不到比上一次考试更好，不如写点关于数学的想法。所以写这篇论文的初稿大概花了一个小时。

猜猜我得了多少分？

6分

是的，就是这个号码。而这个6分成绩是因为最后真的很无聊，所以选择题都填了C，本来应该赢两个的，得到了这个宝贵的6分成绩。说实话，我真的希望那张纸还在，但应该是不可能的。

所以你猜我第一次信号和系统测试得了多少分？

45分

是的，刚好够补考。但是我没有考，决定重考。因为那学期忙于其他事情，真的忘了学习。但我知道这是一门很重要的课程，无论如何我都想彻底了解它。老实说，信号与系统几乎是大多数工科的基础，尤其是通信专业。

在修改的过程中，我仔细分析了每个公式，试图给它一个直观的理解。虽然我知道对于学数学的人来说，这种学习方法是完全没有前途的，因为随着概念越来越抽象，维度越来越高，这种形象或模型的理解方法就完全失去了作用。但是对于一个工科生来说，就足够了。

后来，我来到了德国。这里的学校让我重建信号和系统的时候，我彻底无语了。但是没办法。德国人有时候对中国人很鄙视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法。我们再试一次。

这次考了满分，通过率只有一半。

说实话，数学工具对于工科生和理科生来说，意义完全不同。工科学生理解、使用、搜索就够了。但是很多高校都是把这些重要的数学课程教给数学系的老师。因此，存在一个问题。数学老师讲了很多，推理证明，但是学生脑子里只有一句话:学这个产品有什么用？

没有目标的教育是彻底的失败。

在开始学习一个数学工具的时候，学生并不知道这个工具的作用和实际意义。但是课本上有的概念只是晦涩难懂，但是定语20多个字，公式一看就晕。学兴趣真奇怪！

幸运的是，我遇到了大连海事大学的吴楠老师。纵观他的课，有两条线索，一条自上而下，一条自下而上。首先讲讲这门课的意义，然后指出这门课会遇到什么问题，让学生了解自己所学的一些知识在现实中的作用。然后从基础开始，梳理知识树，延伸到另一条线索中提出的问题，完美衔接在一起！

这种教学模式，我觉得，是大学应该出现的。

本文仅介绍一种新颖的傅里叶分析理解方法。对于学习来说，要脚踏实地的把公式和概念搞清楚。学习真的没有捷径。但至少通过这篇文章，希望能让这条漫漫长路更有趣。