基本图形
所有问题的老祖宗只有两个：
1 [定点到定点]：两点之间，线段最短；
点P为直线L上一动点，问P运动到何处，线段AP+BP和最小。
可以理解两点之间线段最短。连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点。三角形三边关系可以得出，始终围成三角形，AP+BP>AB，当A,P,B三点共线时，AP+BP=AB取最小值。
②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
我们都知道定理：垂线段最短（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短）
A为直线l外点，P为直线l上一动点，那么A到直线l的距离最小值即为A做l的垂线，最小值为垂线段的长度.
由此派生：
③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；
④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；
⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；
⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；
⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
解决几何最值问题的主要方法是转化，通过变化过程中不变特征的分析，利用几何变换、图形性质等手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的基本结构进而解决问题。
几何最值问题基本结构分析:①利用轴对称进行转化（简称轴对称几何最值）;②利用图形性质进行转化
如图，点A、B是直线l同侧的两个定点，动点P在直线l上，当点P运动到什么位置时，PA+PB的值最小
做法：（转化）把定点对称到定直线异侧,连接对称点和另一个点，和定直线的交点即为所求点P（如图）
轴对称最值问题的特征：有动点、定点、定直线， 动点在定直线上运动(定直线是对称轴).
考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形;（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换.举例说明如下：
1．（2019•益阳中考题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为21/2时，求OA的长；
（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．
2．（2019•许昌二模）如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．
（1）观察猜想
将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是 ，直线AC与DE的位置关系是______ ．
（2）类比探究
将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．
（3）拓展延伸
将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．
【解析】（1）连接OA，OC，可证△AOC≌△DOE（SAS），AC＝DE，AC⊥DE；
（2）（1）中的结论：AC＝DE，AC⊥DE仍然成立．方法和（1）相同，易证△AOC≌△DOE（SAS）；
（3）在旋转过程中，取AD中点N，连接MN，BN，BM，BM、MN、BN不共线时构成三角形，由三角形边的关系"三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边"可知：BN﹣MN＜BM＜BN+MN，当B，N，M共线时，
得到BM＝BN+MN和BM＝BN﹣MN分别为BN的最大值、最小值．
BM的最大值为2√5﹣2，最小值为2√5+2．
3．（2019•碑林区校级模拟）（1）如图1，等边△ABC的边长为2，点D为BC边上一点，连接AD，则AD长的最小值是_______ ；
（2）如图2，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8√3，E为AB中点，若P为对角线BD上一动点，Q为AD边上一动点，计算EP+PQ的最小值：
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠BAD＝75°，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝4√2，E为CD边上一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，在AF上截取FP＝FD．试问在四边形ABCD内是否存在点P，使得△PBC的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位罝，并求出△PBC的最小面积；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）如图1中，根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，线段AD的值最小，△ABC的高AD＝√3，所以AD的最小值为√3．
（2）如图2中，作AH⊥BC于H，在DC上截取DQ′＝DQ，连接PQ′，AC，EC．首先证明△ABC是等边三角形，证明△PDQ≌△PDQ′（SAS），可得PQ＝PQ′，推出PE+PQ＝PE+PQ′，再根据垂线段最短即可解决问题．PE+PQ的值最小，最小值为√3．
（3）存在，理由如下：如图3中，以AD为斜边在直线AD的下方作等腰直角△ADO，作OM⊥BC于M，AN⊥OM于N，连接AC，PD．
∵BA＝BC＝4√2，∠ABC＝90°，∴AC＝√2AB＝8，∠BAC＝45°，
∵∠BAD＝75°，∴∠CAD＝30°，∴AD＝AC•cos30°＝4√3，
∵△ADO是等腰直角三角形，∴OA＝OD＝2√6，
∵∠ABM＝∠NMB＝∠ANM＝90°，∴四边形ABMN是矩形，
∴AB＝MN＝4√2，∠BAN＝90°，∴∠OAN＝75°+45°﹣90°＝30°，
∴ON＝1/2OA＝√6，∴OM＝√6+4√2，
∵DF⊥AE，FP＝FD，∴∠FPD＝45°，∴∠APD＝135°，∴点P的运动轨迹是弧AD，当点P在线段OM上时，PM的值最小，此时△PBC的面积最小，
此时PM＝OM﹣OP＝√6+4√2﹣2√6＝4√2﹣√6，
∴△PBC的面积的最小值＝1/2•BC•PM＝1/2•4√2•（4√2﹣√6）＝16﹣4√3．
4．（2019•长安区一模）问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE＝1；BF＝2．
（1）如图①，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为 ______；
（2）如图②，P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一班某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行线E'C，在E'C上E"的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说："你们的做法是有道理的"．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF的最小值；
问题解决：
（3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，在农田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号）
【解析】（1）利用轴对称方法求最短路线，作点E关于直线AB的对称点E′或作点F关于直线AB的对称点F′，连接EF′交AB于P，则PE+PF＝EF′即为最小值，由勾股定理得：EF′＝3√5，故答案为3√5；
（2）这个问题是问题一的推广，通过对称求最短路线，M′M+MF＝M′F＝5为最小值，即PE+PM+PF＝5+2＝7为最小值．；
（3）将实际问题转化为数学问题，作ME⊥AB，并在ME上截取MM′＝0.5（农田的宽度），连接M′N交CD于G，作GH⊥AB于H，连接MH，GN，则MG+GH+GN即为最短路线．最短线路长度为MH+GN+GH＝M′G+GN+GH＝M′N+GH＝√85/2+1/2（km）．
5．（2019春•灞桥区校级期末）问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1，△ABC是边长为1的等边三角形，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用"两点之间线段最短"求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至△BP'A'，连接PP'、A'C，记A′C与AB交于点D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP为正三角形，有PB＝P'P．
故PA+PB+PC=P＇A+P＇P+PC≥A＇C=√3．因此，当A'、P'、P、C共线时，PA+PB+PC有最小值是√3．
学以致用：（1）如图3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则的最小值是_______ ．
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB=2√2，CA=3，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求√2PA+PB+PC的最小值．
（3）如图5，P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，求PA+PD+PQ的最小值．
【解析】（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，易知△AFP是等边三角形，∠EAB＝90°，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用"两点之间线段最短"求最小值（化折为直），PA+PB+PC的最小值为5．
（2）将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAB＝135°，作EH⊥BA交BA的延长线于H．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用"两点之间线段最短"求最小值（化折为直），PA+PB+PC的最小值为√29．
（3）如图5中，将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则易知△AFP是等边三角形，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用"垂线段最短"求最小值，PA+PD+PQ的最小值为√3+2．
方法总结：几何最值考查的主要是公理化思想，将问题转化为可以用初中的"二小"公理解决是核心。一小：两点之间线段最短，二小：点到直线的距离最短，即垂线段最短.
用到的方法主要是作"轴对称"，记忆口诀："差同和异"，求两条线段差的最大值，点必须在直线同侧为"差同"，求两条线段和的最小值，点必须在直线异侧为"和异"。
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