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【旋转体表面积为什么是ds】史话牛顿和莱布尼茨发现微分与积分的互逆运算关系

1现代数学的兴起

近代数学的兴起始于16世纪,首先代数从天文学中分离出来,代数从天文学中分离出来,透视法生成射影几何,代数的发明改进了计算,但其主要成果应该是解三次和四次代数方程的突破,代数的符号化。

2 解析几何的诞生

进入17世纪以后,各式各样的数学理论和分支如雨后春笋般茁壮成长。从本质上讲,近代数学是关于变量的数学。文艺复兴以来资本主义生产力的发展,对科学技术提出了全新的要求。例如,机械的普遍使用引发了对机械运动的研究;由贸易带动的航海业的发展要求更精确和便捷地测定船舶的位置,这需要研究天体运动的规律;武器的改进则推动了弹道问题的研究。所有这些问题都表明,对运动和变化的研究已成为自然科学研究和数学研究的中心问题。

变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。作为几何学的一个分支,解析几何的基本思想是在平面中引进坐标的概念,因此它又被称为坐标几何。用解析几何的方法,我们可以将任何一个形如f(x,y)=0的代数方程(通过方程的解)与平面上的一条曲线对应起来。这样一来,一方面,几何问题也就可以转化为代数问题,再通过对代数问题的研究就可以发现新的几何问题。另一方面,代数问题也就有了几何意义的解释。

3 微积分学的先驱

微积分特别是积分学的萌芽,可以追溯到古代。面积、体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的问题,在古代希腊、中国和印度的著述中,不乏用无限小的过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。其中包括阿基米德和祖冲之父子,他们成功地求出了球的体积;芝诺的悖论则表明,一个普通的常量也可以被无限划分。在微分学方面,阿基米德和阿波罗尼奥斯分别讨论过螺线和圆锥曲线的切线,但这些都只是个别的或静态的。

微积分的创立,主要是为了解决17世纪面临的科学问题。17世纪上半叶,欧洲接连取得了天文学和力学领域的重大进展。首先是荷兰的一位眼镜商发明了望远镜,得知这一消息的意大利人伽利略(Galileo Galilei, 1546-1642)迅速造出了高倍望远镜,他用望远镜发现了太阳系的许多不为人知的秘密,从而证实了15世纪波兰天文学家哥白尼(N.Copernicus, 1473-1543)的“日心说”是正确的,但这一成就给他带来的是一系列灾难,教会的审讯和迫害导致他双目失明,最后郁郁寡欢而亡。与此同时,比他小7岁的德国天文学家开普勒(J.Kepler, 1571-1630)在获取丹麦前辈及同行第谷(Tycho Brahe, 1546-1601)的观察数据后,用更精确的数学推导过程证明了“日心说”。

哥白尼也好,第谷也好,都以为行星的运动轨道是圆的(伽利略也未曾否定这一点),开普勒的第一行星运动定律却认定“行星的运动轨道是椭圆的,太阳位于该椭圆轨道的一个焦点上”。据说有一次他买东西,对商人们粗糙地估计酒桶的体积十分不满,因而努力找到了旋转体的体积计算方法,从而把阿基米德发明的球体积公式做了一般的推广。开普勒所用的方法正是积分学中的“微元法”。用现代数学语言来说,就是用无数无限小的元素之和去求取曲边形的面积和旋转体的体积。

相比这下,意大利人卡瓦列利(B.Cavalieri, 1598-1647)对数学的研究更为专一,他一生的主要成就就是发展了所谓的“不可分量”理论,即线、面、立体分别是由无限多个点、线和平面组成。不过,卡瓦列利也仅能求出幂函数x^n的定积分,这里n必须是正整数。英国数学家沃利斯则考虑把n换成分数p/q,但他仅得到了p=1时的结果。

沿着微积分的路线追溯,我们也可以追溯微积分理论发现之前三位前辈的工作,他们是笛卡尔、费马和巴罗。笛卡尔和巴罗(I.Barrow, 1630-1677)尝试求一般曲线的切线,分别采用了被后人称作“圆法”的代数方法和“微分三角形”的几何方法,费马则是在求函数的极值时采用了微分学的方法,唯一的差别是符号不同。实际上,他已经意识到,用这种方法可以求出切线,但因为是在写给梅森神甫的信里,故只是意味深长地说了一句,“我将在另外的场合论述”。可以说,费马是最接近微积分理论的一位。

4 牛顿的微积分

17世纪所面临的新的科学问题,与微积分的关系非常密切。例如,曲线的切线既可以用来确定运动物体在某一点的运动方向,也可能求出光线进入透镜时与法线的夹角;函数的极值既可以用来计算炮弹最大射程的发射角,也可以求得行星离开太阳的最近和最远的距离。此外,还有这样一个问题:已知物体移动的距离可表示为时间的函数,求该物体在任何时刻的速度和加速度。可以说,正是这个并不复杂的动力学问题及其逆问题促使牛顿创立了微积分。

解析几何不仅把代数方法应用于几何,也把变量引入了数学,为微积分的创立开辟了道路,但真正起关键作用的还是函数概念的建立。1642年,即笛卡尔发表解析几何原理的5年以后,牛顿(I.Newton, 1642-1727)出生在英格兰林肯郡的一个小村庄,那一年伽利略出世了。

牛顿建立的微积分的方法称为“流数术”,他在剑桥大学上学时便开始研究,在回到家乡林肯郡躲避鼠疫的两年时间里取得了突破。据牛顿本人说,他是在1665年11月发明了“正流数术”(微分学),在次年5月发明了“反流数术“(积分学)。也就是说,牛顿与之前所有的探求微积分学的同行们不同,他把微分和积分作为矛盾的对立面一起考虑并加以解决(他的竞争者莱布尼茨也是如此)。

1669年,回到剑桥的牛顿在朋友们中间散发了题为”运用无穷多项方程的分析学“的小册子(此前,他曾从运动学的角度出发做过类似的探讨),像那个时候的其他学者一样,他也是用拉丁文写的。

牛顿假定,有一条曲线y,它下方的面积是:

z=ax^n

其中n可以是整数或分数。给定x的无限小增量叫o,由x轴、y轴、曲线和x+o处的纵坐标围成的面积,他用z+oy表示,其中oy是面积的增量,那么,

z+oy=a(x+o)^n

利用他自己发明的二项式展开定理,上式等号右边是一个无穷级数。将这个方程与前面的方程相减,用o除以方程的两边,略去仍然含有o的项,得到

y=nax^(n-1)

用现代的语言讲就是,面积在任意x点的变化率是曲线在x处的y值;反之,如果曲线是y=nax^(n-1),那么它下方的面积就是z=ax^n,这正是微分学和积分学的雏形。两年以后,牛顿在一本《流数法与无穷级数》的书里给出了更广泛且明确的说明。他把变量叫做“流”(fluent),把变量的变化率叫做“流数”(fluxion),“流数术”一说由此而来。

与此同时,牛顿也将他的正、反流数术应用于切线、曲率、拐点、曲线长度、引力和引力中心等问题的计算。

5 莱布尼茨的微积分

莱布尼茨(G.W.Leibniz, 1646-1710)在1672~1676年四年居留巴黎期间,与荷兰数学家物理学家惠更斯的结识交流,激发了他对数学的兴趣,开始了对求曲线的切线以及面积和体积等微积分问题的研究。莱布尼茨的微积分是从几何学的角度出发的。确切地说,他最初(1673)是从帕斯卡的一篇谈论圆的论文中获得灵感的。

莱布尼茨创立微积分首先是出于对几何问题的思考,尤其是对特征三角形的研究,于1673年莱布尼茨提出了自己的“特征(直角)三角形”。莱布尼茨是这样考虑的:

如图上图所示,设曲线c通过原点,P(x,y)为曲线c上的任一点,过P作法线交x轴于N,从P点的垂足H到N的距离V(称为次法线)是x的函数,则从o到x的面积为1/2y^2。

在P点的无穷小邻近曲线上取一点Q,以PQ为“斜边”作一“特征(直角)三角形△PQR”,其两段PR, RQ为无穷小变化量dx和dy,则Rt△PQR~Rt△PNH,于是有dy/v=dx/y,即vdx=ydy,求和得

若以ds表特征三角形的斜边,过P点的法线长为n,则有ds/n=dx/y,即yds= ndx,求和得∫yds=∫ndx②

由此可得曲线c绕x轴旋转所得旋转体的表面积为s=∫2πyds-∫2πndx

因当时还没有积分符号,莱布尼茨是这样用语言来描述他这一重要结果的:

“由一条曲线的法线形成的图形,即将这些法线(在圆中即为半径),按纵坐标方向置于轴上所形成的图形,其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比。”

早在1666年,莱布尼茨就在《论组合的艺术》一文中考察过下列平方数数列:

0,1,4,9,16,25,36,...

其一阶差是

1,3,5,7,9,11,...

二阶差是

2,2,2,2,2,...

他注意到一阶差的和对应于原数列,求和与求差成互逆关系,由此他联想到微分与积分的关系。利用笛卡尔坐标系,他把曲线上无穷多个点的纵坐标表示成y的数列,相应的横坐标的点就是x的数列。如果以x作为确定纵坐标的次序,再考虑任意两个相继的y值之差的数列,莱布尼茨惊喜地发现,“求切线不过是求差,求积不过是求和”。

求曲线的切线,依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值,当这些差值变成无限小时之比;而求曲线下的面积,则依赖于无限小区间上的纵坐标之和(亦即宽度为无限小的矩形面积之和),并看到了这两类问题的互逆性。莱布尼茨在给洛必达的一封信中总结说:“求切线不过是求差,求积不过是求和”。

对于求和,在莱布尼茨1675年10月29日的一份手稿中,首先使用了符号“∫”,这是将“sum”的首个字母“s”的拉长。在11月11目的手稿中又引进了“dx”表示两相邻x值的差。l 676年11月莱布尼茨已能给出幂函数的微分与积分公式:

其中e不一定是正整数。

1677年,莱布尼茨在手稿中明确陈述了微积分基本定理。为了求出在纵坐标为y的曲线下的面积,只需求出一条纵坐标为z的曲线,使其切线的斜率为dz/dx=y,这样原曲线下的面积为∫ydx=∫dz=z。如果是在区间[a,b]上,便得到面积

莱布尼茨于1684年发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》(简称新方法),也是数学史上第一篇微分文献,刊登在莱比锡的《教师学报》上。

文中引进微分式,并给出了微分式的和、差、积、商乘幂与方根的微分公式:

d(u±v)=du±dv; d(uv)=udv+vdu;

1686年,莱布尼茨发表他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》,文中论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系,并得出摆线方程:

亦即某些超越曲线也可写出其方程。

莱布尼茨引进的符号“d”和“∫”体现了微分与积分的“差”与“和”的实质,获得普遍承认,一直沿用至今。

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