面面垂直可以推出什么 组合教育：高考数学必考知识点之立体几何

高考数学立体几何考试内容：

平面及其基本性质。平面图形直接图的绘制方法。

平行直线。

直线与平面平行度的判定及性质，直线与平面垂直度的判定，三垂线定理及其逆定理。

两个平面之间的位置关系。

空之间的向量及其加减乘除。空之间向量的坐标表示空之间向量的数量积。

直线的方向向量、非平面直线形成的角度、非平面直线的公共垂线、非平面直线的距离。

直线与平面的垂直性质，平面的法向量，点到平面的距离，直线与平面形成的角度，向量在平面上的投影。

平行平面的判断和性质。平行平面之间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判断和性质。

多面体，正多面体，棱柱，棱锥，球体。

高考数学立体几何考试要求:

3.通过三条平行线可以确定一个或三个平面(①三条线在一个平面内平行，②三条线在一个平面内不平行)

【注意】:三个平面可以由三条直线确定，三条直线的公共点为0或1。

4.三个平面最多可以将空分为8个部分(X、Y、Z方向)

第二，空之间的直线。

1.空之间有三种直线位置:相交、平行和平面外。相交的直线——共面且相对，有一个公共点；平行直线——共面无公共点；平面外线-在任何平面上都不同

【注意】:①两条直线在同一平面上的投影必须是两条相交的直线。(×)(两条直线可以是平行的，也可以是点和直线等。)

②直线在平面外时，指的是位置关系:平行或相交

③若直线A和B在平面外，则A与平面平行，B and B关系为相交、平行、在平面内。

④同一平面上两条平行线的射影图形是一条直线或两条平行线或两点。

⑤在平面上投影为直线的图形一定是直线。(×)(投影不仅可以是直线，也可以是其他图形)

⑥如果同一平面内的射影长度相等，则对角线长度等于-(×)(不是从一个面外点到该平面引入的垂直线截面和对角线截面)

推论:如果两条相贯线和另外两条相贯线平行，那么这两组线形成的锐角(或直角)相等。

5.不同平面上两条直线之间的距离:公共垂直线的长度。

空之间的两条直线垂直:相交(共面)垂直和非平面垂直。

直线平行于平面，直线垂直于平面。

1.在直线和空之间的平面之间有三个位置:相交、平行和在平面内。

2.直线与平面平行的判定定理:如果平面外的直线与这个平面内的直线平行，那么这个直线与这个平面平行。(“线是平行的，线是平行的”)

L ^ 3垂直定理的逆定理也成立。

判断定理1:如果一条直线和一个平面上的两条相交直线是垂直的，那么这两条直线就是垂直于该平面的(“直线是垂直的，直线是垂直的”)

判断定理2:如果平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

推论:如果两条直线垂直于一个平面，那么这两条直线是平行的。

【注】:①垂直于同一平面的两个平面平行。(×)(它们可以相交，垂直于同一条线的两个平面是平行的)

②垂直于同一直线的两个平面平行。(√)(垂直于一个平行平面的线必须垂直于另一个平行平面)

③垂直于同一平面的两条直线平行。(√)

5.(1)纵剖面和斜剖面定理:从平面外的一点引入到该平面的纵剖面和斜剖面中，①投影相等的两个斜剖面相等，投影较长的斜剖面较长；(2)等斜线段具有相等的投影，较长的斜线段具有较长的投影；③垂直段比任何对角段都短。

【注意】:一条垂直线在平面上的投影是一个点。【直线在平面上的投影是直线。(×)]

(2)射影定理的推论:如果一个角的平面外的一点与该角的两边的距离相等，那么这个点在平面上的投影就在这个角的平分线上

第二，平面平行垂直。

1.空之间两个平面的位置关系:相交和平行。

2.平面平行性的判断定理:如果一个平面上有两条相交线平行于另一个平面，那么这两个平面是平行的。(“线平行，面平行”)

推论:垂直于同一直线的两个平面相互平行；平行于同一平面的两个平面是平行的。

注意:一个平面之间的任何直线都与另一个平面平行。

3.两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行并且同时与第三个平面相交，那么它们的交线是平行的(“面对面是平行的，线对线是平行的”)

4.判断两个平面的垂直性质:如果两个平面形成的二面角是直的二面角，那么两个平面是垂直的。

两个平面垂直性质的判断2:如果一个平面垂直于一条直线，那么通过这条直线的平面就是垂直于这个平面的(“线是垂直的，面是垂直的”)

注:如果两个二面角对应的平面相互垂直，则两个二面角没有关系。

必须有两个角，比交角大一半，比交角的余角小。

必须有三两个角，比交线夹角大一半，等于交线夹角。

角度小于交角的一半和交角的一半。必须有一个或者没有。

v金字塔和棱镜。

1.棱镜。

(3)棱镜的性质:

(1)棱镜的所有边都是平行四边形，所有的边都是相等的；直棱柱的每一边都是矩形；正棱柱的所有边都是全等的矩形。

(2)棱镜的两个底面和平行于底面的截面是全等多边形，对应的边相互平行。

(3)穿过棱镜的两个不相邻侧边的横截面是平行四边形。

注:(1)棱镜有一面垂直于底部的一面，可推定为直棱镜。(×)

②(直棱镜的定义)棱镜有一条垂直于底面的侧边。

(4)平行六面体:

定理1:平行六面体的对角线相交于一点，在交点等分。

【注意】:四个棱镜的对角线不一定相交于一点。

定理2:长方体对角线长度的平方等于一个顶点上三条边的平方之和。

【注】:①两边为矩形的棱柱是直棱柱(×)(一个斜四面体的两个平行平面可以是矩形)

(2)边为正方形的棱柱一定是正棱柱。(×)(应该是边为正方形的直棱镜)

③对角线面为全等矩形的直四棱柱一定是长方体。(×)(只能推导出对角线面相等，但底面为矩形)

④棱镜成为直棱镜的一个必要条件和不足条件是棱镜的一个侧边垂直于底面的两侧。(两边可以相交，也可以不相交。如果两边相交，应该是一个充要条件。)

2.金字塔:金字塔是一个三角形，一面是多边形，另一面是公共顶点。

【注】:(1)金字塔可以四面都是直角三角形。

(2)一个棱镜可以分成三个等体积的三棱锥；

(1)正金字塔定义:底面为正多边形；顶点在底部的投影是底部的中心。

【注】:一、正棱锥的所有边都是全等等腰三角形(不是等边三角形)

Ii .正四面体互相相等，正三棱锥是底面为正△，侧边和底边不一定相等。

Iii .正金字塔定义的推论:如果一个金字塔的所有边都是全等的等腰三角形(即边相等)；底面是正多边形。

2金字塔有属性:

(1)正棱锥的边相等，所有边都是全等的等腰三角形，每个等腰三角形底边的高度相等(称为正棱锥的斜高)。

②正棱锥的高度、斜高、斜高在底面的投影形成直角三角形，正棱锥的高度、侧边、侧边在底面的投影也形成直角三角形。

(3)特殊金字塔顶点在底面上的投影位置:

(1)如果金字塔的侧边长度相等，顶点在底面上的投影就是底部多边形的外中心。

②如果金字塔的侧边与底面形成的角度相等，那么顶点在底面上的投影就是底部多边形的外中心。

③如果金字塔的边与底面形成的角度相等，那么顶点在底面上的投影就是底面的内多边形。

(4)如果金字塔顶点与底面各边的距离相等，那么顶点在底面上的投影就是底多边形的内部。

⑤如果三棱锥的两对边相互垂直，则顶点在底面上的投影为三角形垂直度。

⑥如果三棱锥的三条侧边互相垂直，则顶点在底面上的投影就是三角形的垂直中心。

⑦每个四面体都有一个外切球，球的中心0为各边垂直面的交点，该点到各顶点的距离等于球的半径；

⑧每个四面体都有一个内接球面，球面的中心是四面体各二面角平分线平面的交点，到各平面的距离等于半径。

【注】:一、每边为等腰三角形、底部为正方形的金字塔为正金字塔。(×)(不知道两边等腰三角形是否全等)

立体几何知识要点

一、知识大纲

(3)夹角和距离

7.直线和平面形成的角和二面角

(1)平面与平面斜线形成的角:三面角余弦公式、最小角定理、斜线与和平

平面形成的角，直线和平面形成的角。

⑵二面角:①定义、范围、平面角、直二面角。

②相互垂直的平面及其判断定理和性质定理。

8.距离

(1)点到平面的距离。

(2)直线到与之平行的平面的距离。

⑶两个平行平面之间的距离:两个平行平面的公共垂直线和公共垂直线的截面。

⑷非平面直线的距离:非平面直线的公共垂直线及其性质，公共垂直线的截面。

(4)简单多面体和球体

9.棱柱和金字塔

(1)多面体。

⑵棱镜及其性质:棱镜、直棱镜、正棱镜和棱镜的性质。

(3)平行六面体和长方体:平行六面体、直的平行六面体、长方体、正的四棱柱，

立方体；平行六面体和长方体的性质。

(4)金字塔及其性质:金字塔、正金字塔、金字塔、正金字塔。

⑸直棱柱和右棱锥的画法。

10.多面体欧拉定理的发现

(1)简单多面体的欧拉公式。

(2)正多面体。

11.球

(1)球面及其性质:球面、球面、大圆、小圆、球面距离。

⑵球的体积公式和表面积公式。

(1)平移法:在不同平面的一条直线上选择一个特殊点，做另一条平行线；

(2)补法:将空之间的图形补入熟悉或完整的几何图形，如立方体、平行六面体、长方体等。目的是很容易找到不同平面上两条直线的关系；

5.直线和平面形成的角度

一条对角线与一个平面构成直角三角形的锐角，其三条边是垂直线、对角线和对角线在平面上的投影。通常通过对角线上的一个特殊点，即平面的垂直线，垂足与斜足的连接是产生线角的关键；

6.二面角的解

(1)定义方法:直接在二面角的边上取一点(特殊点)，使边的垂线分别在两个半平面内，得到平面角。使用定义方法时，仔细观察图形的特征；

(2)三垂线法:已知一个二面角平面上的一点到一个平面的垂线，由三垂线定理或逆定理确定二面角的平面角；

(3)垂直面法:当已知二面角中一点到两个面的垂线时，通过两条垂线的平面与两个半平面相交形成的角为平面角。所以二面角的平面角所在的平面垂直于边缘；

(4)射影法:利用面积射影公式sProjective = s original cos，其中是平面角的大小，这种方法不需要在图中画平面角；

特别是对于一类没有边的二面角，应该把两个半平面展开，使其相交形成边，然后选择上述方法(尤其是射影方法)。

7.如何求空之间的距离

(1)两个不同面的直线之间的距离，高考的要求是给一个共同的垂直线，所以一般是先做一个共同的垂直线，然后再计算；

(2)求点到直线的距离，竖线一般用三竖线定理求解；

(3)求点到平面的距离，一种是借助平面的垂直性质，用垂直面法。所以，确定一个已知平面的垂直面是关键；第二，不是做一条共同的垂直线，而是转化为求三棱锥的高度，用等体积法求解；

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