105度的正弦值看这里!计算机搞定44年几何难题，原来这4个人25年前猜对了

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计算机程序又为数学家立了功。

最近，来自美国、加拿大、瑞士的4位数学家，用C++和MATLAB程序解出了一个6元105项方程的59组特殊解。

求解完这个方程，也就证明了“有理四面体”（rational tetrahedra）总共只有59个“特殊”形状和2个系列，从而解决了一个44年的数学难题。

而提出这一难题的，正是去年因新冠而去世的著名数学家约翰·康威（John Conway）。

△ 59个“有理四面体”单独解（图片来自：QuantaMagazine）

1976年，康威给出了求解该问题的方程。1995年，两位数学家找到了其中59组特殊解，但是他们不确定有没有遗漏。

△ 有理四面体具有两组“连续”解和59组单独解

得益于计算机硬件的发展，现在只用MacBook Pro和几台至强CPU电脑，在几天内就完成了对所有解的搜索。

结果证明，那两位数学家在20多年前其实已经得到了完整的答案。

什么是有理四面体

四面体，顾名思义，就是四个三角形围成的立体图形。

四面体每两个面之间都组成一个二面角。四面体有6条棱，因此有6个二面角。

△ 四面体中有6个二面角（图片来自Poonen手稿）

有理四面体是指四面体中的6个二面角都是有理数角度（与180°角的比值是有理数）。

就好像三角形的内角和公式数学公式: a+b+c=180°一样，四面体的6个二面角之间也有一种关系，只不过这种关系要复杂得多。

定义θij为四面体第i个面与第j个面的夹角（显然θij=θji），那么这6个二面角之间的关系可以行列式表示为：

因为是有理四面体，所以 θij=Qπ（弧度），Q是有理数。

我们把行列式展开后，会得到一个包含17项的方程，而且方程中还有余弦函数，求解难度很大。

但是数学家们想到了一个巧妙的化简方法。

欧拉公式

接下来，数学家们用到了“最美数学公式”——欧拉公式——来简化方程。

欧拉公式将复数（实数+虚数）的指数函数与三角函数联系起来：

i是虚数，即-1的平方根。如果用图像的方式理解欧拉公式，那就是：

很显然，无论θ值如何变化，eiθ到0点的距离一定是1。

所以如果我们定义复数：

那么这个复数一定是在以原点为圆心，半径为1的圆上。

△ 方程z5=1的5个解都在单位圆上

现在，方程里的三角函数可以用复数来替代了：

这样，上面的行列式从一个三角函数方程变成了一个多项式方程：

但问题也随之而来，这个方程总共有105项，而且是一个6元方程！不过好消息是，我们知道这6个未知数都在那个半径为1的圆上（称作“单位根”）。

巧妙的是，复数zij与x轴的夹角θij正好就是四面体的二面角，因此这些解不仅在圆上，与x轴夹角也必须是π弧度的有理数倍。

1995年，在那个没有性能强劲PC的年代，来自UC伯克利的Poonen和滑铁卢大学的Rubinstein通过插入六个有理数的组合，来猜测这个方程的解，他们总共找到了59组。

这样做带来一个问题是：可以找到解，但是不能保证把所有解一网打尽。

一次偶然的碰撞

问题一搁置就是20多年，直到去年3月，Poonen参加了一次讲座。

在那一次的讲座上，研究数论的数学家Kedlaya介绍了自己的工作：搜索了不同多项式方程的单位根。

这不就和寻找“有理二面体”的问题等价吗？

Poonen很快就给Kedlaya发邮件，说明自己的来意：你们研究的“正是我在1990年代需要的东西”。

收到邮件后，Kedlaya与另一位研究单位根的数学家Kolpakov取得了联系。另一边，Poonen也联系上了他当年的的老搭档Rubinstein。

△ 联手解决“有理四面体”的四位数学家

四人迅速组团，开始着手工作。

即便现在的计算机性能相比20多年前提升巨大，但想要找到一个6元105向方程的所有有理数解，还是不可能想象的。

必须要把搜索范围进一步缩小。

首先，他们“化整为零”。

在新论文中他们证明了，这个105项的复杂多项式方程可以用多个更简单的多项式表示，把这个6元方程转化成了数百个简单方程的集合。

寻找这些较简单方程的单位根，比原方程的搜索范围小得多。而且由于简单的方程与复杂的方程之间的对应关系，找到一个方程的根，能帮助找到另一个方程的根。

搜索上限的问题解决了，但搜索的间隔还是太小，搜索空间依然很庞大，工作无法继续。

然后，他们的第二步是，利用对称性进一步压缩搜索空间。

他们知道方程的解具有一定的对称性，如果在区间的一部分上有解，那么在区间的另一部分上也必须有解。

这样一来，他们就可以开发出新算法，利用这种对称性结构来更有效地进行搜索。

经过几个月的努力，他们完成了任务的分解。除去编程，整个搜索只占用了几颗酷睿与至强处理器数小时的时间。

计算机终于找到了所有特殊解，真的只有59个！（另外还有两组“连续”解。）

现在，他们的算法已经公布在GitHub上。

2020年11月，四个数学家把论文发布到arXiv上，44年后终于用计算机的方法完成了康威的愿望。

也算是告慰了康威的在天之灵，他们在论文首页上写着：“In memory of John H. Conway”。

后续

解决这个问题后，Poonen本人亲自撰写了一篇科普文章，还和西蒙斯基金会联合录制了一段科普视频。

Poonen列c出了三个重要的四面体问题，最早的要追溯到2300多年前亚里士多德的疑问：什么样的四面体能堆满整个空间？

1900年，数学家大卫·希尔伯特给出了另一个疑问：什么样的四面体可以经过有限次的切割重组为一个等体积的立方体？

至于第三个问题，就是刚刚解决的有理二面体问题。而前两个问题，人们现在还不知道答案。

如果非要问这个有理二面体有什么实际价值，Poonen给出了一个有趣的案例：

假设我们要在一个星球上建造N个城市，让这N个城市每两个之间的距离都是有理数，那么我们应如何规划？

（注：指城市之间的球面距离与赤道周长的比值是有理数。）

△ 如何在星球上建造两两距离皆为有理数的城市（图片来自Poonen手稿）

因为有理四面体问题的解决，现在这个问题有两个方案：

一个是让赤道上均匀分布几个城市，再把剩下两座城市放在南极北极。

而如果想让城市在星球上分布得更均匀一点，也就是上图右边的方法，那么N不能超过30，否则无解。

参考链接：




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