波动方程 波动方程，了解下！

基于声学的声波方程的推导来源于理想流体介质的三个基本方程:运动方程、连续性方程和状态方程(绝热过程)。关于流体力学还有三个方程，分别是质量守恒方程、动量守恒方程(N-S方程)和能量守恒方程。其实在绝热过程中，小扰动下的流体方程也可以由声学方程推导出来。

质量守恒:

Euler观点推导：单位时间内穿过界面S 流出的质量，等于单位时间内体积V 内质量的减少； Lagrange观点推导：体积V 内流体质量在运动过程中不变

根据雷诺输运定理，上述两个关系是等价的:体积V中总物理量在某一时刻的时间变化率等于V 空之间区域内物理量的时间变化率与单位时间内通过V 空之间边界的物理量净通量之和。

动量守恒(N-S方程)；

Lagrange观点推导：体积V 内的总动量随时间变化率等于总体积力和总面力之和。 Euler观点推导：体积V 内的动量变化与流出体积V 的动量变化率之和等于总体积力和总面力之和。

同样，根据雷诺输运定理，上述两种观点是等价的。

能量守恒:

这里引用一个表达式:内能和动能之和随时间的变化率等于外功和换热功之和。

根据动量守恒:动能变化率+应力功率=外力功率

结合以上两个公式，展开应力，去掉积分符号

第一、二项是总内能随时间的变化率in 空，第三项是传导热和辐射热，右边第一项是应力，右边第二项是外热源。

上述方程由热力学方程转换而来:

这里要注意的是，这里的内能e和热力学中常用的内能符号u是同一个物理量。

我认为内能E相当于热力学中的Q，因为压强做的功已经包含在应力项里了。

根据热力学转换关系

根据麦克斯韦关系

根据下面的定义，可以推导出能量守恒的本构关系(这里要注意，体积膨胀系数中的v可以转化为密度倏，我们认为质量守恒，体积与密度成反比)。

声波方程的推导

我们认为介质中的声波是微小的扰动，可以假设

代入质量守恒和动量守恒方程，省略二阶小量

那么，如何用能量守恒方程来写方程呢？在这里，《声学基础》认为声波过程进行得比较快，体积压缩膨胀过程比热传导花费的时间少得多，声波过程可以认为是绝热过程，所以《声学基础》用绝热过程的状态方程来推导。

如何推导绝热过程的状态方程？绝热过程不与外界交换热能，上述热能E(热力学Q)为0

根据理想气体(这个前提很关键)

有一个结论，在理想气体下，内能u只是t的函数(可以证明)，所以可以推导

可以得到绝热过程的状态方程

为了与上述变量一致，体积被转换成密度

而不是扰动，此时的密度是扰动(小量)

结合质量守恒和动量守恒方程，可以得到声波方程

由流体方程导出的线性声学方程仅限于理想介质中的线性声学。

理想气体假设和绝热过程是推导线性声学方程的关键。什么时候会出现明显的非线性？压力功包括压力变化做功吗？

参考:

热力学方程在计算热力学函数中的应用(朱)

流体力学控制方程(Xi交通大学航空航天学院王献)

公式Cp=Cv+nR(物理论坛)的推导我看不懂

热量传递的热力学描述...

https://www.zhihu.com/search?类型=内容和；Q=流体方程的推导(id:生活在现实中)

https://blog . csdn . net/HJ 199404182515/article/details/88616824