值点 最值点就一定是极值点？

在理论和实践中，函数的极值和极值是经常被触及的概念。一般来说，最大值是全局最优解，极值是局部最优解。但是你知道最大值和极值的具体区别吗？边肖将在本文中详细阐述。

1.极值与最值的含义

首先要知道极值和最大值的区别。

谈论函数的极值和最大值是以区间为基础的，区间可以是开区间、闭区间，也可以是半开半闭区间。

要理解极值和极值的区别，最好的办法是结合图形来看。您不妨看看图1中的函数曲线。

图1。极值点判断图

你能看到函数f(x)在闭区间[a，b]内的极值点和极值点的个数吗？

最大点容易判断，一个最大点一个最小点。最大值是函数在一个区间内可以得到的最大值，最小值是函数在一个区间内可以得到的最小值。记住，边肖在这里用的是“得到”这个词。关于图1中的函数f(x)，f(x)在点x0处具有最大值，在x1处具有最小值。因此，x0被称为最大点，x1被称为最小点。

极值点个数呢？

在计算极值点的数量之前，边肖首先给出了极值的定义，如下所示:

根据极值的定义，显然图1中至少有三个最大点(图2中的红点)和两个最小点(图2中的绿点)！但是区间的终点呢，也就是x=a，x=b，是极值点吗？

图2。函数f(x)的极值点标注图

大家一定要记住区间的端点不是极值点，因为如果x=c是极值点，那么C点的函数值f(c)一定是C点左右两边局部区域的唯一最大值..例如，在图2中，端点a、f(a)仅仅是点a右侧的局部区域中的唯一最小值，因此x=c不是极值点。

因此，图1中的函数f(x)只有三个最大值点和两个最小值点。

2.最值点一定是极值点吗？

显然不是。

请看下面的图3。

图3。最大点不一定是极值点的示意图

在左图中，f(x)在闭区间[a，b]中有一个最大值，区间[c，d]之间的任何一点都是最大值点。然而，f(x)在闭区间[a，b]中没有最大值，因为区间[c，d]中的任何一点都不满足极值的定义，即左右局部区域的唯一最大值。

右图中，函数g(x)在闭区间[a，b]中有一个最大值，两个端点分别是最大值点和最小值点。但g(x)在闭区间也没有极值点。

3.函数在一个区间内必有最值吗

不是，只有满足两个条件，函数才必须在一个区间内有最大值和最小值:闭区间和连续。即连续函数在一个闭区间内必须有最大值和最小值，这是有界性和最大-最小值定理的一部分。

一个很简单的例子是函数f(x)=tanx在开区间(-π/2，π/2)内是连续的，但没有最小值。