平行四边形性质 初中数学平行四边形的性质知识点总结，早看早受益！

初中数学平行四边形性质知识点综述(一)

知识点总结

1.定义:两组对边平行的四边形称为平行四边形

2.平行四边形的性质

知识点总结

1.特殊平行四边形

1.矩形:

(1)定义:直角平行四边形。

(2)性质:矩形的四个角是直角；矩形的对角线等分。

(3)判断定理:

(1)具有直角的平行四边形称为矩形。②等对角线的平行四边形是矩形。③三个直角的四边形是矩形。

直角三角形的性质:直角三角形的右边等于斜边的一半。

2.钻石:

(1)定义:相邻边相等的平行四边形。

(2)自然:钻石的四面都是平等的；钻石的两条对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。

(3)判断定理:

(1)一组相邻边相等的平行四边形是菱形。

②对角线互相垂直的平行四边形为菱形。

③四条等边的四边形是菱形。

(4)面积:

3.正方形:

(1)定义:直角菱形或相邻边相等的矩形。

(2)性质:四边均相等，四角均为直角，对角线垂直等分。正方形既是长方形又是菱形。

(3)平方判断定理:

(1)对角线相互垂直，等四边形为正方形；

(2)一组相邻边相等且成直角的平行四边形是正方形；

(3)对角线互相垂直的矩形为正方形；

④相邻边相等的矩形为正方形

⑤直角的钻石是正方形；

⑥对角线相等的菱形是正方形。

二、矩形、菱形、正方形和平行四边形、四边形的关系:

1.矩形、菱形和正方形是特殊的平行四边形，它们的性质都是在平行四边形的基础上扩展的。矩形是在平行四边形上加上“一个角是90度”得到的，在角度和对角线上比平行四边形更有特点；菱形是通过给平行四边形加上“一组相邻边相等”的条件得到的，在边和对角线上比平行四边形有更多的特征；平方是对平行四边形加上“一组相邻边相等”和“夹角为90度”两个条件得到的。它在边、角、对角线上比平行四边形更有特点。

2.长方形和菱形的判断可以根据起点不同分为两类:一类是基于四边形，一类是基于平行四边形。除了以上两个起点，正方形也可以从长方形和菱形来判断。

3、判断四边形是特殊四边形:

常用测试方法

(1)利用菱形、矩形和正方形的性质计算边缘、角度和面积；

(2)灵活运用判断定理证明四边形(或平行四边形)是菱形、矩形或正方形；

(3)一些折叠问题；

(4)矩形与直角三角形、等腰三角形关系密切，正方形也与等腰直角三角形关系密切。所以很多考题都可以在这个背景下设置。

误解提醒

(1)平行四边形的性质都是矩形、菱形、正方形，但矩形、菱形、正方形的性质不一定是平行四边形，容易混淆；

(2)长方形和菱形有正方形的属性，正方形不一定有菱形不一定有的属性，也容易混淆。

(3)无法正确理解和使用判断定理进行证明(例如证明一个菱形时，被误解为四条等边四边形是菱形，两组等邻边四边形是菱形)；(3)用对角线长度求钻石面积时，忘了乘法；(3)判定一个四边形为特殊平行四边形的条件不充分。

[典型例子](天门，钱江，仙桃，2010)在正方形ABCD中，点o是对角线DB的中点，点p是DB所在直线上的移动点，PE⊥BC在e，PF⊥DC在f .

(1)当p点与o点重合时(如图①)，猜测AP和EF的个数和位置关系，证明你的结论；

(2)当点p在线段DB上(与点d、o、b不重合)(如图②所示)时，(1)中的结论是否成立？如果是真的，写出证明过程；如果没有，请说明原因；

(3)当P点在DB的长延长线上时，请完成图③，判断(1)中的结论是否有效。如果是真的，直接写结论；如果没有，请写出相应的结论。

[解析] (1)AP=EF，AP⊥EF原因如下:

交流连接时，交流必须通过点O，将FO延伸至AB至m；

∵OF⊥CD、OE⊥BC和四边形ABCD是正方形。

∴四边形OECF是正方形，

∴OM=OF=OE=AM，

∫≈MAO =≈OFE = 45≈AMO =≈EOF = 90，

∴△AMO≌△FOE，

∴AO=EF，而≈aom =≈ofe =≈foc = 45，也就是OC⊥EF，

因此，AP=EF和AP⊥EF.

(2)问题(1)中的结论仍然有效，原因如下:

N中扩展AP到BC，M中扩展FP到AB；

pe⊥bc ∵pm⊥ab，MBE = 90，ebp = 45。

∴四边形MBEP是一个正方形，

∴mp=pe,∠amp=∠fpe=90；

并且∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，AB=BC，BM=BE，

∴AM=PF，

∴△AMP≌△FPE，

∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PEF

∫≈PEF+≈PFE = 90≈FPN =≈PEF，

∴≈fpn+≈pfe = 90，也就是AP⊥EF，

因此，AP=EF和AP =⊥ef。

(3)问题(1)和(2)的结论仍然有效；

如右图所示，将AB扩展到PF与(2)完全相同