矩形的性质与判定 北师大版九年级上1.2 矩形的性质与判定

1.1关于矩形的性质和判断的视频说明

第一节课

第二节课

第一章是矩形的判断和自然知识点的梳理

矩形的性质与判断

一、矩形:

它是一个平面图形，其中矩形的四个角是直角，矩形的对角线是相等的，从矩形所在平面的任意一点到其两条对角线的端点的距离的平方和是相等的。

第二，矩形的性质:

1.长方形的四个内角都是直角；

2.矩形的对角线相等，等分；

3.矩形所在平面上任意一点到两条对角线末端的距离的平方和相等；

4.矩形不仅是轴对称图形，也是中心对称图形(对称轴是任意一组相对中点之间的连线)，它至少有两个对称轴。对称的中心是对角线的交点。

5.矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质

6.通过依次连接矩形每条边的中点得到的四边形是菱形

三、长方形的判断:

①定义:直角平行四边形是矩形

②定理1:三个直角的四边形是矩形

③定理2:等对角线的平行四边形是矩形

④对角线等分的四边形是矩形

矩形的面积:s矩形=长×宽=ab。

第四，金色长方形:

长宽比为(√5-1)/2(约0.618)的矩形称为黄金矩形。

金色的长方形给我们一种和谐对称的美感。为了达到最佳的视觉效果，世界上许多著名的建筑都采用了黄金矩形的设计。比如希腊的帕台农神庙。

矩形的性质与判断

矩形的定义:直角平行四边形称为矩形。※.矩形是一种特殊的平行四边形。

矩形的性质:它具有平行四边形的性质，对角线相等，四个角都是直角。※.(矩形是具有两个对称轴的轴对称图形)

矩形的判断:内部为直角的平行四边形称为矩形。※.

对角线相等的平行四边形是矩形。

四角成直角的四边形是矩形。

推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。※.

一个

知识链接

矩形的四个角都是直角。矩形的对角线相等。

2

典型案例分析

如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD = 4，∠ AOD = 60，求AB的长度。

[分析]

首先证明OA=OD，然后△AOD是等边三角形，再求出DO和BD，根据勾股定理求出AB的长度。

[解决方案]

四边形ABCD是一个矩形，

∴AC=BD，OA=1/2AC，OD=1/2BD，

∴OA=OD

∫≈AOD = 60

∴△AOD是一个等边三角形

∴DO=AD=4

∴BD=8

四边形ABCD是一个矩形，

∴≈dab = 90，△DAB为直角三角形，

∴AB 2 =BD 2 -AD 2 =8 2 -4 2 =48

∴AB= .

三

扩展和升级

如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC=10，P和Q分别为AO和AD的中点，所以PQ的长度为。

[分析]

通过分析问题的含义，我们知道P和Q分别是AO和AD的中点，PQ是△AOD的中线。根据中线的性质，PQ = 1/20d，所以我们只需要求OD的长度。给定一个矩形对角线的长度，我们可以得到BD的长度，然后是OD的长度。到目前为止，问题是可以解决的。

[解决方案]

四边形ABCD是一个矩形，

∴BD=AC=10，

∴OD=5.

∵P，q是AO和AD的中点，

∴PQ是△AOD的中线，

∴PQ=1/2OD=2.5。

四

运动训练

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD在点O相交，OA=OB，∠ oad = 25，那么∠ODC=。

一个

知识链接

1.直角三角形斜边上的中线等于斜边长度的一半。

2.矩形的两边相等。

3.矩形的对角线是等分的。

2

典型案例分析

如图，BE和CF是△ABC的高度，m是BC的中点，EF=5，BC=8，那么△EFM的周长是()

A.21 B. 18 C. 13 D. 15

[分析]

根据“BE和CF是△ABC的高度，m是BC的中点”得出FM=EM=1/2BC，所以△EFM的周长计算并不困难。

[解决方案]

∵BE，CF是△ABC的高度，m是BC的中点，

Rt△BCE中的∴，EM=1/2BC=4，

在Rt△BCF中，FM=1/2BC=4，

∴△EFM的∴△周长=EM+FM+EF=4+4+5=13。

因此，c .

三

扩展和升级

如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点。如果AB = 6，AD = 8，四边形ABOM的周长为

A.14公元前19年18世纪16

[分析]

根据矩形的性质，可以求出直角三角形斜边的中线和三角形、BO、OM、AM的中线。

[解决方案]

四边形ABCD是一个矩形，

∴AD=BC=8,AB=CD=6,∠ABC=90∘，

∴AC 2 =AB 2 +BC 2 =100

∴AC=10，

AO = OC，

∴BO=1/2AC=5，

m是AD的中点，

∴AM=1/2AD=4

∵M为AD中点，o为AC中点，

∴OM是△ACD的中点，

∴OM=1/2CD=3，

∴四边形的周长是AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=18。

因此，c .

四

运动训练

如图，在Rt△ABC中，∠ ABC = 90，D为AC的中点，如果∠ C = 55，∠ABD=。

练习的详细说明

如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于ae⊥bd of⊥ad的点o，be: ed = 1: 3。如果AC=2cm，OF= cm，AE = cm。

解析:

测试分析:

根据矩形的对角线相等且彼此等分，可以得到OB=OD，然后可以得到BE=OE，从而判断△AOB为等边三角形。根据等边三角形的性质可以得到ABO = 60和ADB = 30，根据30°直角三角形的右边等于斜边的一半可以得到OD=2OF，然后BD =。

测试分析:

在矩形ABCD中，OB=OD，

* BE:ED = 1:3，

∴BE=OE，

∵AE⊥BO，

∴△AOB是一个等边三角形，

∴∠ABO=60，

∴∠ADB=90 -60 =30，

∵OF⊥AD，

∵OA=OD,OF⊥AD，

∴AF=DF，