图说｜从“母鸡下蛋”说麦考利久期是个啥？

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来，我们一起回顾下久期的概念吧。

久期（duration）的概念最早是麦考利(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称麦考利久期(Macaulay duration)。

接着说正事。

简单地说，久期是对债券平均有效期的测度，用于衡量债券利率敏感度的指标。

概念比较晦涩，我们举个例子吧。

假设你养了一只母鸡。

够迅速啊~

你每天给母鸡喂米，

而母鸡生鸡蛋给你吃，约定一周生3个蛋。

如果：

母鸡第1天生了个蛋，你煮荷包蛋吃了。

母鸡第2天又生了个蛋，你烧茶叶蛋吃了。

母鸡第3天、第4天没生蛋，

第5天终于再次生了个蛋，你做番茄炒蛋吃了。

不多！

不要打岔，注意听题！

问：母鸡生蛋给你吃的有效时间是多久？

你再想想看，这个指标有问题不？

假设我们换一种情况，母鸡第1-4天都没生蛋，第5天生3个蛋。

按照你刚才的算法，这种情况下，母鸡生蛋的有效时间是不是也是5天？

但在第一种情况下，你在第1天和第2天就吃到了鸡蛋，而第二种情况你必须等到第5天。

所以我们创造一个指标，叫做“生蛋久期”。

t为每次生蛋的期限，则生蛋久期D=∑t。

在第一种情况下，

生蛋久期D=1天+2天+5天=8天。

在第二种情况下，

生蛋久期D=5天+5天+5天=15天。

15天>8天，所以第一种情况给你带来的效用会高些。

哦，有点近似了，

但还有一个要素没有考虑到。

母鸡生的蛋是有大小的，带给你的效用是不一样的。

我们必须加入权重，

以此考虑蛋的重量大小问题。

所以，

第1天蛋的重量权重为a/(a+b+c)；

第2天蛋的重量权重为b/(a+b+c)；

第5天蛋的重量权重为c/(a+b+c)。

生蛋久期D=∑(t×)

=1×（a/(a+b+c))+2×（b/(a+b+c))+5×（c/(a+b+c))

我们将生蛋过程想象为债券产生现金流（CF）过程：

假设一张T年期债券，

t 时刻的现金流为（1≤t≤T），

债券价格P=∑，

则债券麦考林久期D=∑(t×)=t1×CF1/∑CFt+t2×CF2/∑CFt+…+tn×CFn/∑CFt

=∑( t×CFt / ∑CFt)

哦，但还有一个要素没有考虑到。

Sorry。我们说过货币是有时间价值的，在算CF现金流的时候，我们还需要考虑收益率r。

因而，麦考利久期完整公式如下：

一般来说，久期和债券的收益率成反比。

债券的久期D越大，利率的变化对该债券价格P的影响也越大，因此风险也越大。

D和P关系有如下公式：

对债券价格P以r一阶求导即可得到该公式。

我们就不展开说了。

最后我们看下麦考利久期的概念，

结束今天的话题：

麦考利久期是债券在未来产生现金流的时间的加权平均，其权重是各期现值在债券价格中所占的比重。

（本文来源于微信公众号三折人生）

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