变量与函数 变量与函数的教学设计

　　一．内容和内容解析

　　【内容】变量与函数的概念

　　【内容解析】

　　“14.1变量与函数”是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册第十四章第一单元，本设计是第1课时，引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心内容．函数概念的核心是两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想．

　　本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到研究主要从化繁就简入手，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．本设计把重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义．” 而函数图象较为直观形象，有助于学生理解函数的概念，因此把函数图象中的部分内容提前到本课时学习．

　　二．目标和目标解析

　　【目标】理解常量、变量与函数的概念．

　　【目标解析】

　　（１）借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系．

　　（２）借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.

　　（３）从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.

　　三、教学问题诊断分析

　　变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中．学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数，另外，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等朴素的函数关系的生活实例．但是学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．

　　【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．

　　【教学难点】怎样理解“唯一对应”．

　　四、教学过程设计

　　（一）导言：

　　1.《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高．你知道其中的道理吗？

　　2.我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？

　　问题1中都涉及两个量的关系，脚印确定，对应的身高有多个取值；问题2涉及多个量的关系．这一节课我们研究两个量的关系，研究怎样由一个量来确定另一个量．

　　【设计意图】从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)内指明本节课的学习内容．现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关注一类简单的问题．

　　（二）概念的引入

　　1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元.

　　（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是 元；若售出205张、310张呢？

　　（2）若一场售出x张电影票，则该场的票房收入y元，则y= .

　　思考：

　　（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即y随的变化而变化；

　　（2）当售出票数x取定一个确定的值时，对应的票房收入y的取值是否唯一确定？

　　2．成绩问题：如图是某班同学一次数学测试中的成绩登记表：这一次数学测试中，13号的成绩为______；15号的成绩为______；16号的成绩为______；23号的成绩为______．

　　思考：

　　（1）测试成绩随________的变化而变化；

　　（2）任意确定一个学号x，对应的成绩f的取值是否唯一确定？

　　3.气温问题：图一是抚顺春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：

　　（1）这天的8时的气温是 ℃，14时的气温是 ℃，最高气温是 ℃，最低气温是 ℃；

　　（3）这一天中，在4时~12时，气温（ ），在16时~24时，气温（ ）.

　　A.持续升高 B.持续降低 C.持续不变

　　思考：

　　（1）天气温度随的变化而变化，即T随的变化而变化；

　　（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？

　　【设计意图】这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出常量、变量、函数等概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程.问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.

　　（三）概念的界定

　　思考：上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？

　　在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如电影票的单价10元……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个．

　　教师根据学生的回答，在黑板上板书：

　　师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念．

　　【设计意图】(1)如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键．这里提出的问题“上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，借助“脚手架”，学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义．(2)此处板书是“脚手架”的重要组成部分，揭示“两个量的对应关系”．

　　问题回顾：指出前面三个问题中涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数.

　　【设计意图】巩固常量、变量、自变量、函数的概念．

　　例1 一个三角形的底边为5，这一边上的高h可以任意伸缩．

　　（１）高h的变化会引起三角形中哪些量发生变化？这些变量是高h的函数吗？

　　（２）试求面积s随h变化的关系式，并指出其中的常量、变量与自变量。

　　例2如果用r表示圆的半径，半径r的变化会引起圆中哪些量发生变化？这些变量是半径r的函数吗？

　　【设计意图】例1、例2的引入用几何画板做动态演示．此两例引导学生体会几何问题中两个变量在动态变化过程中的依存关系．

　　例３ 问题1中，售出票数是票房的函数吗？问题２中，学号x是成绩f的函数吗？

　　【设计意图】（１）引导学生从逆向思维的角度进行思考，更全面地理解函数的概念．（２）培养学生逆向思维的习惯．（３）让学生对这三个问题留下更深刻的印象，特别是“成绩问题，”它将在函数这一章书的教学中反复被引用，帮助学生深入理解函数的概念．

　　（四）概念巩固

　　1．购买一些签字笔，单价3元，总价为y元，签字笔为x支，根据题意填表：

　　（1）y随x变化的关系式y = ， 是自变量， 是 的函数；

　　（2）当购买8支签字笔时，总价为 元.

　　2.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里.他离开家后的距离s（千米）与时间t（时）的关系如图所示.

　　（1）当t=12时，s=________；当t=14时，s=________；

　　（2）小李从______时开始第一次休息，休息时间为____小时，此时离家______千米.

　　（3）距离s是时间t的函数吗？时间t是距离s的函数吗？

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