两直线垂直公式 数学的48条秒杀型公式

1.适用条件:【直线通过焦点】，要求ecosA=(x-1)/(x+1)，其中a为直线与焦点所在轴的夹角，为锐角。x是分离比，必须大于1。

注:以上公式适用于所有圆锥曲线。如果焦点被分割(也就是说焦点在切割线段上)，使用这个公式；如果是分割的(焦点在切割线段的延长线上)，右侧为(x+1)/(x-1)，其余不变。

2.函数的周期问题(记住三个):

(1)如果f(x)=-f(x+k)，那么T = 2k

(2)如果f(x)=m/(x+k)(m不为0)，那么T = 2k

(3)如果f(x)=f(x+k)+f(x-k)，那么T=6k。

注意点:a .周期函数，周期必须是无限的b .周期函数不一定有最小周期，比如常数函数。c .周期函数加周期函数不一定是周期函数，比如y = sinxy = sinpie x加法不一定是周期函数。

3.对称问题(一个无数人不理解的问题)总结如下:

(1)若在r上满足(下同):f(a+x)=f(b-x)为常数，对称轴为x =(a+b)/2；

(2)函数y=f(a+x)和y=f(b-x)的像关于x=(b-a)/2对称；

(3)如果f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)像关于(a，b)的中心对称

4.函数奇偶性:

(1)对于属于r的奇数函数，f(0)= 0；

(2)对于带参数的函数，奇次函数没有偶次幂项，偶次函数没有奇次幂项

(3)奇偶性影响不大，一般用来选择空

5.序列的爆发强度定律:

(1)等差数列介质:s odd =na介质，例如S13=13a7(13和7为左下角标记)；

(2)在等差数列中，S(n)，S(2n)-S(n)和S(3n)-S(2n)是相等的差；(3)在几何级数中，当公比不为负时，以上两项为等比，但当q=-1时，可能不成立4。几何级数爆炸强度公式:S (n+m。

6.数列的终极武器，特征根方程。看不懂就算了。首先介绍公式:对于an+1=pan+q(n+1为左下角，n为右下角)，且a1已知，则特征根x=q/(1-p)，则序列的通项公式为an = (a1-x) p (n-1)+x，为一阶特征根方程的应用。二阶有点麻烦，不常用。所以就不赘述了。希望同学们记住上面的公式。当然，这种类型的序列是可以构造的(两边同时加数)

7.功能的详细说明和补充:

(1)复合函数奇偶性:内部偶是偶，外部奇是一样的

(2)复合函数的单调性:同增不同减

(3)关于三次函数的关键知识:恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图。它有一个对称的中心，解是二阶导数后，导数为0，根X为中心的横坐标，纵坐标可由带入原函数的X定义。另外，必须只有一条直线通过中心并与两边相切。

8.常用序列BN = n×(2n)Sum Sn =(n-1)×(2(n+1))+2内存方法:前减一个1，后加一个，再加一个2作为一个整体

9.适用于标准方程的爆炸强度公式(聚焦X轴):

k椭圆=-{(b)XO }/{(a)yo } k double = {(b)XO }/{(a)yo }

k投=p/yo

注:(xo，yo)是通过圆锥曲线的直线所切截面的中点。

10.强烈建议两条直线垂直或平行:已知直线L1: A1x+B1y+C1 = 0，直线L2: A2x+B2y+C2 = 0，如果它们是垂直的:(充要条件)A1A 2+B1b 2 = 0；

如果平行:(充要条件)a1b2=a2b1和a1c2≠a2c1[这个条件是为了防止两条直线重叠]

注意:以上两个公式避免了斜率存在的麻烦，会被直接杀死！

相信大家都知道，相邻的条款互相抵消。我们来看看每个项的消去:对于sn = 1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+1/[n(n+2)]= 1/2[1+1/2-1/(n+1)-1

注:每项预留四项，即前两项和后两项。把自己的配方写在草稿纸上，会显得清爽整洁！

12.爆炸强度△面积公式:S=1/2∣mq-np∣，其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)。注意:这个公式可以解决用三点坐标求已知三角形面积的问题！

13.你知道吗？在空之间的立体几何中，下列命题都是错误的:

①空之间的三个不同点确定一个平面；

(2)两条垂直于同一直线的直线是平行的；

(3)对边相等的两组四边形为平行四边形；

(4)如果一条直线垂直于平面内无数条直线，则该直线垂直于平面；

(5)两个面相互平行，另一个面为平行四边形的几何是棱柱；

(6)一面为多边形，另一面为三角形的几何为金字塔形。注:不适用于初中生。

14.一个小知识点:所有等边的金字塔可以是三个，四个，五个金字塔。

15.求f (x) = ∣ x-1 ∣+∣ x-2 ∣+∣ x-3 ∣+的最小值...+∣ x-n ∣ (n是正整数)。

答案是:n为奇数时，最小值为(n-1)/4，当x=(n+1)/2时得到；n为偶数时，最小值为n/4，当x=n/2或n/2+1时得到。

16.√[(a+b)]/2 ≥( a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a和b为正数，为统一域)

17.椭圆中聚焦三角形的面积公式:s = btan (a/2)

双曲线:s = b/tan (a/2)

注:适用于以X轴为焦点的标准圆锥曲线。a是两个焦点半径之间的角度。

18.爆发强度定理:向量空之间的三个公式解决所有问题:

CosA = | { vector a . vector b }/[vector a的模×vector b的模] |

a是线条之间的夹角；a是直线与平面的夹角(但cos被sin代替)；在公式中)；a是面与面之间的角度。注:以上角度均为[0，pi /2]。

19.爆炸强度公式1+2+3+...+n = 1/6(n)(n+1)(2n+1)；

1 3+2 3+3 3+…+n 3=1/4(n )(n+1)

20.爆炸力正切方程的记忆方法:用对称形式写，换x和y。

例如:对于y = 2px，可以写y×y=px+px，然后把(xo，yo)带入其中一个:y×yo=pxo+px

21.爆发强度定理:(A+B+C)N[合并后]展开中项数为:Cn+22，n+2以下，2以上

22.【变换思想】切线长度l = √ (d-r) d表示从圆外的一点到圆心的距离，r是圆的半径，d是圆心到直线的最小距离。

23.对于y =2px，通过焦点的两个垂直弦AB和CD之和至少为8p。

爆炸强度定理证明:对于y =2px，设焦点弦倾角为a，那么弦长可以表示为2p/[(Sina)]，那么垂直于它的弦长就是2p/[(COSA)]，所以求和可以根据三角知识得知。(标题表示弦AB对焦，CD对焦，AB垂直于CD)

24.引入一个重要的绝对值不等式:∣ | A |-| B | ∣ ≤ ∣ A B ∣ ≤ ∣ A ∣+∣ B ∣

25.用ln解不等式的一种方法；

例:证明1+1/2+1/3+……+1/n >；Ln(n+1)把左边看成1/n求和，右边看成Sn。

解:设an=1/n，设Sn=ln(n+1)，然后bn=ln(n+1)-lnn，然后只设an >: Bn，根据定积分的知识，画一个y = 1/x的图，An=1×1/n=矩形面积>:曲线下面积=bn。当然，需要证明1 >: ln2 .

注:仅供有能力的童鞋参考！！另外，这种方法可以推广，即把左侧和右侧看成级数求和，面积大小可以证明。注意:前提是ln。

26.爆炸强度的简单公式:矢量A在矢量B上的投影为[矢量a×矢量B的量积]/[矢量B的模量]。内存方法:按哪个模块划分投影到哪里

27.解释一个容易出错的点:如果f(x+a)[a是任意的]是奇数函数，那么结论就是f(x+a)=-f(-x+a)[等式右边不是-f (-x-a)]。类似地，如果f (x+a)是一个偶函数，f(。

28.偏心爆裂强度公式:e=sinA/(sinM+sinN)注:p为椭圆上的一点，其中a为角度F1PF2，腰角为m和n。

29.椭圆参数方程也是个好东西，可以解决一些最大值问题。例如X/4+y = 1，求z = x+y的最大值，解法:设x=2cosay=sina，然后用三角形有界。不知道比你快到了多少倍=0！

30.【仅供有能力的童鞋参考】]爆发强度公式:

和差积sinθ+sinφ= 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2cos[(θ+)

乘积和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosα

31.爆发强度定理:直接图的面积是原图的√2/4倍。

32.三角形垂直爆炸强度定理；

(1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O为三角形外中心，h为垂直中心)

(2)如果一个三角形的三个顶点都在函数y=1/x的像上，那么它的重心也在这个函数像上。

33.Viviani定理(不是很重要(仅用于娱乐))，-正三角形(或在边界上)任意一点到三条边的距离之和为固定值，等于三角形的高度。

34.爆发强度思维:如果两个根x1x2=m和两个根x1+x2=n之和的乘积，就要形成一个思维，就是回去构造一个二次函数，然后用△大于等于0得到m和n的范围。

35.共同结论:一条通过(2p，0)的直线与抛物线y =2px相交于A点和b点，O为原点，连接AO。老兄..必要的角度AOB=90度

36.爆炸强度公式:ln (x+1) ≤ x (x >: -1)这个公式可以有效解决不等式的证明问题。

例:ln(1/(2)+1)+ln(1/(3)+1)+ln(1/(n)+1)

函数y=(sinx)/x是一个偶数函数。在(0，pie)上单调递减，在(-pie，0)上单调递增。大小可以通过使用上述属性进行比较。

38.函数y=(lnx)/x在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷大)上单调递减。另外，y = x (1/x)与函数的单调性一致。

39.数学中的几个错误:

(1)f `(x)& lt；0是函数在定义域中单调递减的充分条件和不必要条件；

(2)研究函数奇偶性时，忽略第一步也是最重要的一步:考虑定义域是否关于原点对称！

(3)在应用不等式的过程中，一定要考虑是否得到“=”符号！

(4)顺序的研究不考虑子项，也就是说有时候第一项不符合通式，所以要非常注意子项是否有必要。

40.提高计算能力的五个步骤:

(1)扔掉计算器；

(2)认真审题(提倡慢读快解)，要知道看不清题，数也没用；

(3)记忆常用数据，掌握一些快速计算技巧；

(4)加强心算和估计能力；

(5)[检验]！

41.一个绝妙的配方:爆强！假设AB=a，AC=b，o是三角形的外中心，强烈推荐向量AO×向量BC(即量积)= (1/2) [b-a]！证明了BC通过O的垂线被变换到已知边

42.(1)函数单调性的含义:大多数学生都知道，如果函数在区间D内是单调的，函数值随着自变量的增加(减少)而增加(减少)，但有些人可能对某些含义不是很清楚。如果函数在D中是单调的，那么函数一定是连续的(分段函数另当别论)。这也解释了为什么不能说y=tanx在域内单调增加，因为它的像是无限多的。

另外，如果函数在d上单调，那么函数的y和x一一对应。这个可以用来解一些方程。至于例子，我就不举了。

(2)函数周期性:本文主要总结了一些函数方程表示的周期性。设f(x)是R上的函数，对于任意x∈R:

① f (a x) = f (b x) t = (b-a)(加上绝对值，下同)

②f(a x)=-f(b x)T=2(b-a)

③f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a

④设T≠0，f(x+T)=M[f(x)]，其中M(x)满足M[M(x)]=x，M(x)≠x，则函数的周期为2

43.奇偶函数概念的推广:

(1)对于函数f(x)，如果有一个常数a，使f(a-x)=f(a+x)，那么f(x)就是广义(I)型偶函数，如果满足两个不同的实数a和b，f(x)就是周期函数T=2(b-a)

(2)如果f(a-x)=-f(a+x)，那么f(x)是广义(I)型奇函数。当满足两个不同的实数a和b时，f(x)是周期函数T=2(b-a)

(3)如果两个实数A和B满足广义奇偶函数方程，则f(x)是广义(ⅱ)型奇偶函数。

而如果f(x)是广义(ⅱ)型偶函数，那么当f是[a+b/2，+∞]上的增函数时，就有f (x1)

44.函数对称性:

(1)如果f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则函数关于(a+b/2，c/2)是中心对称的

(2)如果f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，那么函数关于直线x=a+b/2是轴对称的

柯西函数方程:如果f(x)是连续的或单调的；

(1)如果f (xy) = f (x)+f (y) (x >: 0，y > 1；0)，然后是f(x)=㏒ax

(2)如果f (xy) = f (x) f (y) (x >: 0，y >；0)，则f (x) =徐(u由初始值给出)

(3)如果f (x+y) = f (x) f (y)，那么f (x) = ax

(4)如果f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy，那么f(x)=ax2+bx

(5)如果f(x+y)+f(x-y)=2f(x)，那么f(x)=ax+b

特别是如果f(x)+f(y)=f(x+y)，那么f(x)=kx

45.与三角形有关的定理或结论中学数学中平面几何最基本的图形是三角形

(1)正切定理(我自己取的，因为不知道名字):在非Rt△中，有tanA+tanB tanA+tanB+tanC = tanAtanBtanC

(2)任意三角形射影定理(也称第一余弦定理):在△ABC中，a = bcosC+ccosB；b = ccosA+acosC；c=acosB+bcosA

(3)任意三角形的内切圆半径为r=2S/a+b+c(S为面积)，外接圆半径应已知

(4)墨涅劳斯定理:设A1，B1，C1为△ABC三边BC，CA，AB的直线上的点，则A1，B1，C1共线的充要条件为CB1/B1A Ba1/A1C Ac1/C1B = 1

46.易出错点:

(1)函数各种性质的综合应用不灵活。例如，奇偶性和单调性经常被用来解决抽象函数的不等式问题。

(2)三角函数的恒等式变换不清晰，归纳公式不快速。

(3)忽略三角函数中的有界性和三角形中角度的限制，例如在一个三角形中，两个角度的正切值不可能同时为负。

(4)三角形的平移变换不清楚，说明从y=sinx到y=sinwx的步骤是将横坐标改为原横坐标的1/∣w∣倍。

(5)级数求和中，经常使用的错位减法，总是粗心错误。避免方法:写第二步时，提出公差，括号内用几何级数求和，最后去掉系数。

(6)常用的级数变形公式不明确，例如an=1/[n(n+2)]之和保留了4项。

(7)级数不考虑a1是否满足根据sn-sn-1得到的通式。

(8)数列不是所有实数的简单函数，即在研究数列最大值求导的过程中要注意是否得到问题。

(9)向量运算不完全等价于代数运算。

(10)求模运算中向量平方后的处方就算了。比如2的答案，这个选择题经常出现√2。基本上选√2，选2是因为没有处方。

(11)复数的几何意义不清楚。

47.辅助角公式:asint+bcost = [√ (a+b)] sin (t+m)，其中tanm=b/a[条件:a >；0]

注意:有些同学习惯于考虑sinm或者cosm来确定m，个人觉得太容易出错了。最好的办法是根据tanm确定M(见上)。例:sinx+√3cosx=2sin(x+m)，因为tanm=√3，所以m=60度，所以原公式=2sin(x+60度)

48.a和B是椭圆x/a+y/b = 1上的任意两点。如果OA垂直于OB，则1/∣ OA ∣+1/∣ OB ∣ = 1/A+1/B。

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