可靠性理论 可靠性高手都了解的三大理论，太难了！

模糊与可能性理论

1965年，美国控制论专家L.A .扎德教授首次将普通集的特征函数范围从二元集{0，1}扩展到闭区间[0，1]，并提出了模糊集的概念。所谓模糊集，是指集合中的元素不确定，也就是说宇宙中有一些元素既不完全属于集合，也不完全属于集合。同时，扎德建立了模糊集相关理论，开创了模糊数学的分支。

模糊数学是处理“非此即彼”问题的数学，弥补了确定性数学中“非此即彼”二元逻辑的缺陷。引入模糊数学的方法不是将问题模糊化，而是用数学表达式表达实际问题中涉及的模糊因素，使问题可以量化和精确化。因此可以说，概率论和数理统计将数学的研究对象从必然现象扩展到随机现象，而模糊数学将清晰现象扩展到模糊现象，使人们对事物的理解和描述从纯随机层面进入随机性和模糊性并存的阶段，为人们准确描述和处理模糊现象和事物提供了有效的数学手段。模糊数学自建立以来，基本上形成了一个比较完整的体系。

可靠性的定义包含五个要素:对象、特定条件、特定时间、特定功能和能力。其中前三个要素是可靠性的前提，准确具体，这三个要素不允许有模糊性。工程实践中的模糊性主要表现在对是否“完成规定功能”的判断和定义上，也就是说“完成”和“未完成”没有明显的界限，所以实际上更准确的说法应该是“在一定程度上完成规定功能”。这样，可靠性的定义就反映了其可能的模糊性。所以模糊可靠性的定义是:产品在规定的条件下，在规定的时间内，在一定程度上完成规定功能的能力。

80年代初，国外开始正式研究模糊可靠性工程，而我国在80年代中后期开始研究模糊可靠性。近30年来，国内外许多学者就如何将模糊数学理论应用于可靠性研究进行了大量有益的探索，初步建立了模糊可靠性的理论框架。现有的研究工作主要集中在对建立模糊可靠性理论的必要性的分析和阐述，模糊可靠性主要指标的建立，系统模糊可靠性的分析，结构或构件失效概率和可靠性的计算。

传统的可靠性模型有两个基本假设，即双态假设和概率假设。双态假设本质上是针对失效准则的，即能明确判断产品是否失效；概率假设是针对问题中的基本变量。失效准则和基本变量的类型和性质是用数学语言描述可靠性问题时要考虑的两个基本方面。从这个角度考虑，工程实践中的模糊性根据其表现形式可分为两类:失效准则的模糊性和一些基本变量的模糊性。

无法明确定义产品是否完成了规定的功能，这种模糊性表现为失效判据的模糊性；然而，一些基本变量由于含义模糊或受到其他因素的干扰，不能通过重复测试随机分布，因此模糊性属于基本变量的模糊性。当失效准则和基本变量模糊时，双态假设和概率假设不再适用。对此，需要引入两个新的假设:一个是模糊状态假设，针对失效准则，即产品通过模糊状态完成指定功能或未能完成指定功能；第二种是可能性假设，针对基本变量，即在可能性测度的基础上可以完整描述产品的失效行为。模糊可靠性理论就是基于这两个新的假设。

由以上分析可知，对于具体的可靠性问题，根据实际情况，其失效准则基于双态假设或模糊态假设，涉及的基本变量基于概率假设或可能性假设。因此，根据所涉及的模糊性类型的不同组合，可靠性问题可以分为四种类型，其中基于不涉及任何模糊性的双态假设和概率假设的问题是常规可靠性问题(PROBIST可靠性理论)，其余的是模糊可靠性问题。基于此，目前的模糊可靠性理论主要分为三个分支(名称中的前三个字母“PRO”和“POS”是“概率”和“可能性”的缩写，表示基本变量基于什么假设；最后四个字母“BIST”和“FUST”分别是“双态”和“模糊态”的缩写，表示失效准则是否模糊):

1) Profoust可靠性理论:失效准则是基于模糊状态假设和概率假设的模糊可靠性理论体系，用于产品状态模糊且基本变量仅为随机时的可靠性分析。处理这类问题的基本思路是用模糊集来描述“产品处于安全/失效状态”的模糊事件，然后用扎德教授对模糊事件概率的定义来计算其可靠性。同时，在此基础上，建立了一套与常规可靠性指标相对应的模糊平均寿命、模糊故障率、模糊维修度等主要模糊可靠性指标。

2) POSBIST可靠性理论:失效准则是基于双态假设和可能性假设的模糊可靠性理论体系，用于产品状态不模糊、基本变量模糊时的可靠性分析。

3) POSFUST可靠性理论:失效准则，即在产品状态和基本变量都是模糊的情况下，基于模糊状态假设和可能性假设进行可靠性分析的模糊可靠性理论体系。

凸集理论与区间分析

20世纪60年代，RomanMoore将区间的概念引入到数值计算误差的自动控制中。自20世纪90年代以来，区间分析已成为数值分析的一个活跃分支。区间分析又称区间计算和区间数学理论，是定义在区间集上的一种数学理论，它用一个包含其真值的区间来表示一个实数，并利用该区间进行计算。在实际工程应用中，许多问题的原始数据不是精确解，但其中包含的极限是可以确定的，这使得区间分析在工程中的应用越来越广泛。

凸集模型需要考虑不确定性的边界和幅度，是基于不确定性的凸集模型的表达。20世纪90年代，本海姆教授提出了基于凸集模型的非概率可靠性思想。其核心内容是:如果系统缺乏样本数据或缺乏对系统的认知，可以允许大范围的不确定性而不失效，也就是说系统对不确定因素的变化不敏感，系统称为可靠。反之，如果系统对不确定因素的变化敏感，那么系统就是不可靠的。非概率可靠性的优点是对原始样本数据要求低，不需要其特定的分布形式及其概率密度函数或隶属函数。在非概率可靠性理论的基础上，埃利沙科夫教授提出了区间方法作为一种可能的度量方法。本哈伊姆教授和埃利沙科夫教授的研究成果奠定了非概率可靠性的理论基础，引起了国内外许多学者的关注和工程界的重视。

目前一般认为凸集模型主要包括超椭球模型和区间模型，它们对应的是概率模型参数的随机分布。凸集模型基于均匀分布假设，将不确定参数视为有界值，并将它们包含在凸集中。通过集合运算和优化设计，求解结构响应范围。基于凸集模型提出的非概率可靠性，将结构安全域体积与基本区间变量域总体积之比作为结构可靠性度量。

证据理论

证据理论，又称德姆普斯特-谢弗理论(简称D-S理论)，最早是由德姆普斯特提出的。学生谢弗对该理论进行了扩展，并于1976年出版了专著《证据的数学理论》，从而使证据理论成为处理不确定性的完整理论。

证据理论是在贝叶斯理论的基础上扩展和延伸的。它利用多值映射得到概率的上下限，具有很强的表达和处理认知不确定性的能力。同时，由于证据理论与概率论兼容，也可以处理随机不确定性。因为证据理论要求的先验数据比概率论在数量上更宽松，表达上更直观，形式上更多样，也更容易获得。此外，证据理论的核心内容之一——证据组合理论可以将来自不同专家或信息源的知识或数据进行组合，以获得更可靠的结果，因此近几十年来证据理论的研究成果层出不穷，至今仍是国际研究的热点。

证据理论具有很强的推理能力。信任函数和似然函数是证据推理的主要工具，它们可以相互转换。目前对信任函数和似然函数有不同的理解。Dempster认为信任函数代表事件概率下界的度量，而似然函数是上界的度量。因为证据理论也有三个类似概率论的公理，他认为信任函数和似然函数是概率分布函数的扩展。Smets认为信任函数只代表证据，与概率分布函数没有直接关系。他在模型中将推理过程分为两步，第一步是置信度，第二步是决策层。在置信度上，只考虑获得的证据对信任度的影响，不考虑主观判断；在决策层，根据推理不足原则，将信任函数转化为博弈概率作为决策依据。这个过程类似于人类在做决策之前进行逻辑思考的习惯，所以更符合客观情况。

经过几十年的发展，证据理论的理论框架得到了初步完善，应用领域不断扩大。但与传统的概率方法相比，理论上仍存在一些有待解决的问题，如高冲突证据的合成，至今没有完善的处理方法；证据合成导致的焦点元素爆炸和计算复杂度的增加仍然是一个棘手的问题。

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