为什么选修爱情与哲学课程

学数学有什么意义？

知道初三同学问数学学习的意义，引起了很多人的关注。

本文作者刘笑，用心发了一篇开源的文章，通俗易懂又不失严谨。超模君今天分享给大家。

这个阶段的学生确实难以理解初中数学的实际用处，需要耐心解释。

我不知道现在的老师会不会给学生介绍学科的知识框架，我上初中的时候是没有老师给介绍的，现在想想如果当时有人可以给我介绍一下，至少会更清楚自己对什么更感兴趣的。不过因为父亲是小学老师，所以很早就知道了教学大纲、课程标准（这个是上中学的时候才出来的东西）这类东西，这类东西对我形成知识框架和良好的学习习惯还是有不少好处的。

闲话不说，开讲正题：学习数学，意义何在？为什么数学是主科而理化是副科呢？

中学数学有什么用？

初中数学学什么？

初中数学在我上学的时代还是分成代数和几何两门学科的。

代数的学习内容包括：代数与代数式、有理数、整式的加减、一元一次方程、二元一次方程组、不等式和不等式组、整式的乘法、因式分解、分式、数的开方、二次根式、一元二次方程、函数及其图象、统计初步。

几何的学习内容包括：线段与角、平行与相交、三角形、四边形、相似性、解直角三角形、圆。

数学的难度极速提升是在初二上学期。由于因式分解和三角形的解题对模式化和技巧性要求很高，学生需要不少枯燥的训练，同时需要一定的观察力，成绩拉开是在这个阶段，不少学生对数学兴趣丧失也是在这个阶段。

初中新课程：

有理数、整式的加减、一元一次方程、几何图形；

相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程、不等式和不等式组；

三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解、分式；

二次根式、勾股定理、平行四边形、一次函数、数据的分析；

一元二次方程、二次函数、旋转、圆、概率初步；

反比例函数、相似、锐角三角函数、投影和视图。

新课程加了许多新内容，深度也增加了，很多内容也重新编排了先后顺序。

高中数学学什么？

高中老课程：集合与简易逻辑、函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、直线和圆的方程、圆锥曲线、立体几何、排列与组合、概率与统计、极限、导数、复数。

高中新课程：

必修：集合与函数、指数与对数函数、函数的应用、平面几何体、空间关系、直线方程、圆方程、算法、统计、概率、三角函数、平面向量、三角恒等变换、解三角形、数列、不等式

文科选修：简易逻辑、圆锥曲线、导数、统计应用、推理证明方法、复数、框图

理科选修：简易逻辑、圆锥曲线、立体几何、导数、复数、推理证明方法、计数原理、随机变量、统计。

其他的自选课（可以想象，除了很牛逼的学校，基本不会上）：数学史、球面几何、对称与群论、几何证明、矩阵运算、坐标系和参数方程、不等式（"花式"不等式）、初等数论、试验设计、风险决策、布尔代数。

不得不说，新课程的自选课简直是炫酷屌炸天。

中学课程与大学课程的衔接：

数学可以简单地进行大致归类：代数、几何、分析和数论。

如果不是数学系的大学生，一般在本科会学到高等数学、线性代数、概率论和数理统计这三门课程中的两到三门。高等数学就属于分析范畴，线性代数显然属于代数范畴，概率论和数理统计属于应用数学范畴，但需要分析和代数工具。几何和数论一般只有数学系和少数专业学习。

中学数学知识是学习大学数学知识的基础，这就是学习中学数学的意义所在。这个结论如此简单明白，以至于几乎不需要论证。不过还是大致梳理一下中学数学知识的联系，以及它们如何构成大学数学的学习基础，方不愧写这么多字嘛！

先说代数和分析：

小学我们计算都是数的运算，结果就是一个数，所以学的都是数的运算法则。到了中学，我们想用一个可以做万金油的字母代替所有数，所以引入的代数式。这是一种语言体系的转换，我们使得运算更加一般化了。引入代数式之后出现了数系的扩充。a-b(a<b，a和b都是整数)引出了负数，a/b(a<b,b≠0，a和b都是整数)引出了分数。所以我们把原来的整数扩展为有理数。这是另一种语言体系的转换，我们使得运算的范围扩大了。

然后我们开始学习整式的加减和乘法，并且学了整式乘法的逆运算——因式分解，并且从另一条主线上，我们也学习了由整式构成的方程，一元一次方程、二元一次方程和不等式。整式也能够做除法，变成分式，同时也可以做分式方程。但是，在解一元二次方程时遇到了x^2=a(a>0)的情况，原来的语言体系不好用了，所以引入了数的开方运算，引入了无理数，将数系扩充到实数领域，以及代数式的形式——根式，这样就解决了解一元二次方程的问题。我中考时，数学只考一元二次方程、函数和统计初步，因为一元二次方程和函数涉及到所有之前学到的代数知识，所以前面讲的内容就没必要考了。

学了好了基本的运算（加减乘除和开方）以后，引入了函数。这是现代数学最重要的概念之一，也是分析学的研究对象，因此它是中学数学最核心的知识。而函数的知识，在日常生活中几乎是用不到的，这个概念在近代数学在真正被提出来，在18-19世纪才有真正严格化的理论，更高级和严格的理论20世纪才产生。但是几乎所有的数学理论和科学理论都是建构在这个大厦之上。

初中函数的应用基本也是在解方程和不等式上，但是引入函数以后，数学的语言体系就提高了一个新的层次，就和引入代数式以后提高了一个新的层次一样，高中数学的非几何和统计部分几乎完全建构在函数理论上。

高中数学首先引入集合语言，这是现代数学的理论基石，引出后文对函数的定义。但高中水平的数学几乎用不到这个东西。我高中完全不理解集合语言，只是会区分概念和集合运算。然后开始讲解函数的一般性质，包括各种初等函数（指数、对数、三角函数），以及一种特殊的函数（自变量为正整数）——数列。

数列这个词，到高数里面就变成序列了，无法理解为啥不在高中就叫序列。函数和数列是高中数学最难的部分，也是高等数学基础的基础。然后通过三角函数引出平面向量，介绍简单的向量代数——又一次数学语言的重大飞跃：我们发现能够运算的不仅是数，还有代数式；不仅是代数式，还有有序的数和代数式；平面向量代数可以说已经初具线性代数的样子了，不过由于过于简单，线性代数的核心概念没有办法引入，所以可能无法体会其中威力。

然后是不等式，这是我学高中数学最吃力的一环，书上的题简单无极限，考试题千回百转。等接触了数学分析才知道，解不等式才是分析的看家本领。高考题的最后一题，基本上就是函数数列不等式的杂糅体。这些基础打牢以后，就开始学习极限和导数，再深一点的再加点微积分；这已经是高等数学的内容了，高中数学浅尝辄止，也就那么回事吧。

统计学是现代科学的基石，但公众并不了解

统计思想的基石

初中的统计会讲一些抽样的方法（简单抽样、分层抽样之类），简单的统计量（均值、众数、中位数、方差、标准差、极差之类），和简单的概率知识。然后高中讲排列组合，概率初步，随机变量和分布，数学期望和方差、参数估计和回归之类的知识。这些知识很重要，虽然并没有涉及到概率论和统计学的精髓，但是排列组合是学习古典概型的基础，必需非常熟练才能掌握古典概率论；了解简单的统计量，也是统计思想潜移默化的学习过程。

高等数学在统计中的意义

不过，没有高等数学工具，高深的统计学理论实在是没办法讲清楚。单单讲实务，让学生知其然不知其所以然的话，根本起不到提升科学素养的作用。尽管无数人诟病中国教育对统计的重视不够，无数人提议普及统计学教育，但实际操作起来，还是有不小的困难。

大学的概率论首先是介绍概率的概念，使用的语言的集合论语言，分别介绍古典概型、几何概型以及柯尔莫格罗夫公理化体系，此后介绍随机变量及其分布，期望、方差和特征函数，大数律与中心极限定理。以上这些知识都是统计学的基础。统计学大致可以分为参数估计和统计推断两大范畴：参数估计研究如果从样本数据估计总体的参数；统计推断可以大致认为是研究如何比较两个样本是否存在差异的。

普通统计学讲的是实务，就是讲什么情况用什么方法才能得到令人信服的结果；数理统计学讲的是理论，就是讲每种统计方法为什么是有效的。统计学是现代实验科学的基石，可以说没有统计学，实验数据无法有效处理，难以产生有说服力的结论，科学的进步也就成为空中楼阁。

什么人需要学习高深的数学？

恐怕只有文学、艺术类的了

数学系的每个专业都需要高深的数学。就北大数学学院而言，就有数学与应用数学专业（基础数学和金融数学两个方向），统计学专业（统计学和概率论两个方向）和信息与计算科学专业（计算数学和信息科学两个方向）。所有的专业都必修的课：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程、抽象代数、复变函数、概率论和数学模型。另外，每个方向会在各自领域进行不同程度的深化学习。

物理系的各个专业都需要高深的数学。物理系的四大力学（理论力学、统计力学、电动力学和量子力学）充满了数学，甚至可以说完全就是应用数学课。此外，还有数学物理方法课程，同样是应用数学课。所以，物理系（包括天体物理、天文学专业）需要用到的数学比一般的理科专业要多。具体需要多少还是跟方向相关，不同专业可能涉及到实变函数、抽象代数、偏微分方程甚至黎曼几何。

计算机专业需要高深的数学。除了高数、线代和概统之外，至少还需要集合论和图论，数理逻辑，算法分析、代数结构、组合数学、数值方法等专业的数学课程来为计算机语言逻辑和数字技术打基础。

化学专业需要一定程度的高深数学，跟方向关联较大。至少化学分析需要基本的统计学，结构化学需要量子力学的知识，而学好量子力学的前提是学好线性代数和偏微分方程。此外楼上有答主说，还涉及群论的内容。

工科专业几乎所有都是以数学、物理学（或化学、生物学）和计算机作为其理论基础的，数学要求自然是比较高的，尤其是涉及物理的相关专业，比如机械、电机、电子、土木、水利等专业，对数学的要求非常高。

经济学（包括会计和管理）专业需要一定程度的高深数学。计量经济学是现代经济学的灵魂，只有涉及数学方法的经济学探讨才是真正意义上的学术探讨。计量经济学几乎就可以翻译成经济统计学，本身就是数学方法课程。

金融学专业除了经济数学之外，还需要学习风险评估，至少涉及随机过程、时间序列分析、优化设计和金融数值方法之类的数学课程。

社会学专业也有专门的社会学统计方法课程，自然是涉及概率论和统计学，那也自然而然需要高等数学的基本知识。生物学和医学专业也有专门的生物统计学方法课程，自然也需要高等数学基本知识。

讲究点的哲学专业，恐怕也都需要对数学的基本了解，毕竟现代哲学一大流派是分析哲学，对数学和逻辑学基础的研究恐怕连数学专业都望尘莫及呢。

完全不涉及数学的专业，恐怕也只有文学专业、历史专业、外语专业和政法专业。然而政治专业从来都没办法脱离经济学看问题，还是多多少少会涉及一些经济学知识；法律专业有一个方向叫知识产权法，需要从业者不仅熟悉法律本身，还要对知识产权相关专业有所了解，而这些专业往往都是理科专业。

数学对于非数学工作者意味着什么？

我们从小学开始，一直在学习数学，一直到大学还在学习数学。小学数学教会我们计算，这是数学当中最有用的部分，每个人都在用，每个人都会在生活中应用，因为亲切直观。到了初中以后，数学逐渐越来越失去它的直观性，开始露出它本来的面目——抽象，而且越学越复杂，越学越抽象。我们不清楚学习这么复杂抽象的数学有什么意义。直到有一天，我们发现我们学习的物理变成了这个样子：

物理中的动量

我们学习的化学变成了这个样子：

我们的医学专业变成这个样子：

经济学教程也变成这样：

于是我们明白数学的作用，于是书到用时方很少之感油然而生。

对于非数学工作者来说，数学是一种书面语，跟中文、外语的书面语一样，是一种表达方式。通过这种表达方式，我们可以把一个科学理论严格化、抽象化，使它更容易被理解和使用。没错，是更容易被理解；但是对于不懂这门语言的人，就会觉得跟天书一般。

相对的，数学跟外语一样，也是认识世界的一种方式。原来无法解决的科学问题，往往通过新的数学方法就迎刃而解，比如微积分、矩阵、群论、非欧几何，就把原来看来极其复杂的问题变得非常容易解释。而对于不懂这门语言的人，就无法进入这个缤纷多彩的世界。（比如好多人对量子力学感兴趣，但是没有数学基础，就很难深入其中了）

至于为啥数学是主科，物理化学生物是副科？还能因为啥，因为文科不考理化生呗。为啥文科不考理化生？因为大学文科专业几乎不学理化生啊！只要考试，哪个科不是主科；不考试的科，谁拿他当个凳儿啊！

本文由超级数学建模编辑和整理

本文来源于刘笑（知乎）