趣味数学 【趣味数学】10个有趣数学问题，让你爱上数学！

数学真的很有趣，有很多神奇的地方。老师精心挑选了咸宜老老少少的10道数学题，带领大家以定理、有趣的问题甚至未解之谜等各种形式窥探数学世界的一角。许多问题包含着深刻的数学知识，涉及到数学的各个领域。希望大家从小就能享受数学这个有趣的学科。

数字黑洞

随意选择一个四位数(所有数字不能相同)，将所有数字由大到小排列，再将所有数字由小到大排列，将后者从前者中减去，得到一个新的数字。对新获得的号码重复上述操作，7步之内就会获得6174。

例如，选择四位数字6767:

7766 - 6677 = 1089

9810 - 0189 = 9621

9621 - 1269 = 8352

8532 - 2358 = 6174

7641 - 1467 = 6174

……

6174这个“黑洞”叫做Kaprekar常数。对于三位数，还有一个数字黑洞——495。

3x+1问题

从任意正整数开始，重复以下操作:如果这个数为偶数，则除以2；如果这个数是奇数，将其增加到三倍，然后再加一。你会发现序列最终会变成4，2，1，4，2，1，…的循环。

比如选择的数字是67，可以按照上面的规则依次得到:

67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17,

52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

数学家尝试了很多数字，但没有一个能逃过“421陷阱”。但是，序列最终会成为所有数字的4，2，1循环吗？

这个问题可以说是一个“坑”——乍一看问题很简单，有很多突破，于是数学家们纷纷跳入其中；众所周知，进容易出难。很多数学家到死都没有搞清楚这个问题。招了无数数学家，从3x+1问题的各种别名可以看出来:3x+1问题也叫Collatz猜想、Syracuse问题、Kakutani问题、哈塞算法、Ulam问题等等。后来因为命名争议太大，我们干脆不让任何人介入，称之为3x+1问题。

直到现在，数学家也没有证明这个定律对所有数字都成立。

特殊两位数乘法的快速计算

如果两位数的十位数相同，单位数加起来是10，就可以马上说两位数的乘积。如果这两个数分别写成AB和AC，那么它们乘积的前两位是A和A+1的乘积，后两位是B和c的乘积。

例如，47和43有相同的十位数，个位数之和为10，所以它们乘积的前两位数为4×(4+1)=20，后两位数为7×3=21。也就是说，47×43=2021。

同样，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，以此类推。

这种快速计算方法背后的原因是(10x+Y)(10x+(10-Y))= 100 x(x+1)+Y(10-Y)适用于任何x和Y..

魔方中的魔法“方”

一个“三阶幻方”就是把数字1到9填充到一个3×3的正方形中，使每一行、每一列、每两条对角线上的三个数之和完全相同。下图是一个三阶幻方，每行三个数之和等于15。

大家可能听说过幻方，但是不知道幻方的一些奇妙性质。例如，任何三阶幻方满足每行形成的三位数平方和等于每行按反序形成的三位数平方和。对于上图中的三阶幻方，有

816 2 + 357 2 + 492 2 = 618 2 + 753 2 + 294 2

利用线性代数，我们可以证明这个结论。

自然形成的魔方

从1/19到18/19，十进制循环的长度是18。把这18个循环段排列成一个18×18的数字数组就构成了一个幻方——每行、每列、两条对角线上的数字之和是81(注:严格来说不是幻方，因为方阵中有相同的数字)。

196算法

前后读一个数是一样的，所以我们叫它回文数。挑一个随机数，把倒写得到的数相加，直到得到一个回文数。例如，如果选定的数字是67，您可以分两步得到回文数字484:

67 + 76 = 143

143 + 341 = 484

将69变成回文需要四个步骤:

69 + 96 = 165

165 + 561 = 726

726 + 627 = 1353

1353 + 3531 = 4884

89的回文号特别长，第一个回文号8813200023188要到第24步才能得到。

你可能会想，不断加一个正一个负，总能得到一个回文数，也就不足为奇了。事实的确如此——对于几乎所有的数字，按照规则，回文迟早会出现。然而，196是一个显著的例外。数学家用计算机算出了3亿多位数，从来没有产生过一个回文数。从196开始，可以加回文吗？196有什么特别之处？这还是个谜。

Farey序列

选择一个正整数n，找出分母不超过n的所有最简单的分数，从小到大排序。这个分数序列叫做Farey序列。例如，n = 7的Farey序列如下所示。

定理:在Farey序列中，对于任意两个相邻的分数，首先计算前者的分母乘以后者的分子，然后计算前者的分子乘以后者的分母，那么两个乘积之差必须恰好为1！

这个定理从数论到图论有各种证明。甚至还有一种证明方法，巧妙地利用Pick定理，将其转化为一个不证自明的几何问题！

独特的解决方案

经典谜题:用1到9组成一个九位数，这样这个数的第一位可以被1整除，前两位可以被2整除，前三位可以被3整除，以此类推，直到整个九位数可以被9整除。

没错，真的有这么猛的数字:381654729。其中3可被1整除，38可被2整除，381可被3整除，直到整数可被9整除。这个数可以通过除法的性质一步一步推导出来，也可以通过计算机编程找到。

另一个有趣的事实是，在由1到9组成的所有362，880个不同的九位数中，381，654，729是唯一符合要求的一个！

数字在变，数字不变

123456789的双精度是246913578，这只是由1到9组成的另一个数字。

246913578的双精度是493827156，这只是由1到9组成的另一个数字。

Double 493，827，156，987，654，312，还是由数字1到9组成。

如果你再加倍987654312，你会得到一个10位数的数字1975308624，它仍然没有重复的数字，只是由0到9的10个数字组成。

再翻倍1975308624，这个数字就变成3950617248了，还是0到9组成的。

然而，这条规则不会永远持续下去。如果继续翻倍3950617248，会得到7901234496，这是第一个例外。

三个神奇的分数

1/49换算成小数位后等于0.0204081632。前五个数字依次是2、4、8、16和32，每个数字正好是前一个数字的两倍。

100/9899等于0.01010203050813213455 …两位断开后，每个数字正好是前两个数字的和(即斐波那契序列)。

100/9801等于

0.0102030405060708091011121314151617181920212223 … 。

用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的成因。

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