【105度的正弦值】专题让数学容易学，可能吗

张庚的肖像画。

数学重要，但难学。改善数学教育是世纪性世界大课题。

30年前，我在一本书里提出了“教育数学”的想法。所谓教育数学，就是为教育改造数学，把数学变得更容易。要让概念更平易，推理更简捷，方法更有力。

40多年前，我在新疆一个农场中学教数学时，有几件事情启发了我，让我认识到数学能够变得更容易。1977年的一道高考题，我用小学里的面积计算方法做出来了。1978年的一道奥数题，我又是用基于小学知识的面积方法找到了一个不到两行的证明。10多年后，我才明白，这其实是发现了一种几何定理机器证明的新方法。

三角难懂，我用菱形面积定义正弦，接着通过面积计算轻松获得了正弦定理和正弦和角公式。对此，初二学生说容易懂，记得牢，有趣。

40年后，我才知道，数学教育大师弗赖登塔尔曾提出，能否提前两年先学正弦。我找到了三角学在小学数学知识基础上的生长点，实现了他的设想。

1979年，我到中国科学技术大学任教，整理了这些心得，写了《平面几何新路》等读物。不久，我又结合讲微积分的体会，在1989年出版了《从数学教育到教育数学》一书，提出了“教育数学”的观点，举出了一批把数学变容易的实例，涉及几何、三角和微积分。

“教育数学”的主张赢得了广泛赞同。2004年，中国高等教育学会教育数学专业委员会成立，专家们在多届委员会年会上就教育数学进行了深入交流。

数学究竟能不能变容易，还是要由教学实践来检验。为了为教学实践做更多准备，提供可操作的内容，2006年，我在《数学教学》和《数学通报》撰文，提出了“重建三角，全局皆活”的主张；2009年，我写了《一线串通的初等数学》，作为科学出版社《走进教育数学》丛书中的一册出版。

经过30年的发酵，重建三角的思路，终于开始渗入课堂。

从相关学术刊物和学位论文，我们可以捕捉到有关教学实验的信息：对教育数学，学生教师均表示欢迎，认为新的概念方法别具一格，简捷易懂，易于接受。

宁波教育学院的崔雪芳教授曾组织在初一教正弦的实验课，得出的结论是：学生始终保持浓厚的兴趣，对后续学习产生了强烈的期待，学习的动力被进一步激发；在三角、几何、代数间搭建了一个互相联系的思维通道，后续学习的思维空间得到整体的拓展。

从2012年到2015年，在广州市科协项目支持下，广州市海珠实验中学青年教师张东方，对两个班105名学生，做了初中全程的“重建三角”教学实验。实验结果显示：学生的思维更活跃，分析和解决问题的能力明显提升。中考数学成绩优秀率达到100%，而对比班级为67%。

成功的实验引起了关注。有些师范学院把教育数学列入教学内容，组织相关教学实验；农村山区的实验学校，学生学习积极性提高，进步也很快；不少老师自发地投入教学实践，组织课外活动，编写校本教材，推广教育数学的新思想和新方法。三十年磨一剑，把数学变容易在初中里开始成为现实。

解析几何、向量能不能变容易？微积分呢？

莱布尼茨问过，点如何相加？我们提出的“点几何”给出了最为浅显的回答，由此对上千个几何问题给出了简单清楚的恒等式解答。这解答立刻能转化为向量、复数或坐标的表达方式。这将把解析几何、复数、向量的学习变得更容易。

历史上不少大家如拉格朗日，曾致力于建立不用极限的容易理解的微积分，都未成功。后人普遍认为此路不通。《普林斯顿微积分读本》干脆宣称，如果没有极限概念，微积分将不复存在。

在中国科学技术大学时，我曾致力把微积分变容易，虽小有所获，终因进展艰难而停顿。在林群学长这方面长期坚持不懈的探索启发激励下，近20年，我重拾此方向的研究。最近，我们发现，从一些很平常的想法出发，即使没有微积分，也能够系统而简捷地解决通常认为微积分才能解决的许多问题。沿此思路，可以在引入极限之前严谨地建立微积分了。

著名英国数学家阿蒂亚认为，为了知识的传承，必须不断努力把它们简化和统一。他希望，“过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代里，连孩子们都能容易地理解。”

把数学变容易，任重道远，但大有可为。

（作者为中国科学院院士、著名数学家）

(来源:人民日报海外版)