微分方程解法总结 高等数学《常微分方程》知识点总结与问题类型

一、求解一阶微分方程的基本思想

1.重写结构并比较标准的可解类型

适当变换微分方程的描述形式，比较标准型方程的结构。常用的一阶微分方程的标准类型有:

可分离变量的低阶微分方程；

这种结构的方程可以用分离变量的方法求解。

低齐次方程:

将原方程转化为变量可分的微分方程。

●一阶线性微分方程:

(1)当Q(x)等于0时，为齐次线性方程，用可分变量法求解；

(2)当Q(x)不等于0时，为非齐次线性方程，在相应齐次方程通解的基础上，用常数变易法或待定函数法求解；利用常数变易法得到的通解计算公式也可以直接得到通解。

●伯努利方程:通过两端同时除以yn，将方程转化为一阶线性微分方程求解。

●全微分方程:用曲线积分相关的理论和方法求解其判定和求解方法。

2.变量替换，构造标准类型

对于不符合标准类型的方程，在考虑微分方程的适当变换后，用新的变量表示一阶微分方程右项f(x，y)的部分表达式dy/dx=f(x，y)，或者用新的变量表达式代替变量，将方程转换为标准类型的一阶微分方程进行求解。

3.调整因变量和自变量

将Y函数转换为X函数，然后比较标准类型；如果一致，用相应的思路解决；否则，在这个思路上，考虑第二个思路，转化成标准类型，通过变量替换来求解。

二、可降解的微分方程类型及典型问题求解

归根结底，阶微分方程可以归结为一阶微分方程的问题。鉴于一般教材中只讨论二阶类型，可以扩展为以下三种类型:

(1) y(n)=f(x)

对于这样一个N阶微分方程，右端可以逐步积分，通过N次不定积分可以得到含有N个独立任意常数的通解。

(2) F(x，y(n-1)，y(n))=0

对于这样一个n阶微分方程，u(x)= y(n-2)可以用来得到一个二阶微分方程，即

F(x，u '，u'')=0。

对于这种结构的微分方程，u′= p(x)可以转化为一阶微分方程

F(x，p，p')=0

通过求解微分方程并结合已知条件得到P(x)，代入u′= p(x)。u(x)可以通过再次求解一阶微分方程得到，所以最终的通解可以通过求解n-2阶的第一可约微分方程y (n-2) = u (x)得到。

(3) F(y(n-2)，y(n-1)，y(n))=0，其中y(0)=y(x)。

对于这样一个n阶微分方程，u(x)= y(n-2)可以用来得到一个二阶微分方程，即

F(u，u '，u'')=0。

对于这种结构的微分方程，因为不含X变量，又因为y=y(x)，所以可以使u'=p(u)，所以有u''=p'(u)*p，将原方程转化为以U为自变量的一阶微分方程。

F(u，p(u)，p'p)=0

通过求解微分方程并结合已知条件得到P(u)，代入u'(x)=p(u)。u(x)可以通过再次求解一阶微分方程得到，所以最终的通解可以通过求解n-2阶的一阶可约微分方程y (n-2) = u (x)得到。

3.线性微分方程和刘维尔公式解的结构

n阶非齐次线性微分方程

对应的n阶线性微分方程

1、线性微分方程解的结构

线性微分方程具有如下解的结构，这是求解线性微分方程的基础。

(1)设y1(x)，y2(x)，…，yn(x)为齐次线性微分方程的n个解(* *)，那么C1*y1(x)+C2*y2(x)+…+Cn*yn(x)也是(* *)的解，其中C1，。

(2)设y1(x)，y2(x)，…，yn(x)为齐次线性微分方程的n个线性无关解(* *)，则C1*y1(x)+C2*y2(x)+…+Cn*yn(x)为(* *)的通解，其中

(3)设Y1 * (x)和Y2 * (x)为非齐次线性微分方程的解(*)，那么y1*(x)-y2*(x)为齐次线性微分方程的解(* *)。

(4)让y (x，C1，C2，...，cn)是齐次线性微分方程的通解(* *)并且y*(x)是齐次线性方程的解(*)，然后y (x，C1，C2，...，cn)+y * (x)是非齐次线性方程(*)

(5)(叠加原理)设Y1 (x)和Y2 (x)为非齐次线性方程右侧f(x)和g(x)的解(*)，则y1(x)+y2(x)为右侧f(x)+g(x)的解；即y1 (x)和y2 (x)是(*)的解，y1(x)+y2(x)不是(*)的解，而(*)的右项应该是2f(x)的解。

2.刘维尔公式

设y1(x)为二阶齐次线性微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的非零特解，则另一个与y1(x)线性无关的特解可用Liuville公式计算。

4.求解常系数线性微分方程的方法

基于线性微分方程解的结构包括以下求解n阶常系数齐次线性微分方程解的步骤和过程:

第一步:写出相应的特征方程

微分方程(*)的特征方程是用R代替Y，用度数改变阶数(其中0阶导数为0阶)得到的。

第二步:找到特征根

特征方程在复数范围内求解，得到n个特征根。

第三步:根据特征根写出N个特解。

第四步:根据线性微分方程解的结构写出通解

非齐次方程增加了以下两个步骤:

第五步:用待定函数法求非齐次微分方程的特解；如果右函数项f(x)不符合标准型，则需要借助叠加原理分解成标准型。

第六步:根据非齐次线性微分方程解的结构，写出通解，即

非齐次通解=齐次通解+一个特殊的非齐次解。

五、解微分方程应用的基本步骤

借助微分方程模型解决实际问题的基本步骤；

(1)确定模型类型:注意实际问题中数学中与导数相关的常用词。比如运动学和化学反应的变化率，速度，速度和加速度，经济学中的边际，生物学，金融学，经济学等领域的增长，放射性问题中的衰变，以及经常提到的变化，变化，增减等。几何上有切线和法线，都可能和导数或微分有关，通过建立微分方程模型来反映它们的规律是可能的。

(2)转化描述和统一维度:整理出实际问题中涉及的各种量，将相关的书面语言描述转化为数学语言和符号描述形式。如果涉及的量有单位，则量纲统一。

(3)确定因变量和自变量:根据获得的结果，确定与结果相关的两个量，其中一个是要获得的函数变量；一个是自变量；而与变化率相关的量就是待求解函数的导数。

(4)建立微分方程:分析问题涉及的原理或物理规律，根据现有的变化率进行描述；或者借助微元分析，给自变量一个增量，建立一个与因变量增量和自变量增量相关的方程，从平均变化率取自变量增量趋于零的极限，得到包含待求解函数导数的相关方程，即微分方程的描述形式。

(5)确定初始条件:根据问题，找出并明确可能的初始条件；值得注意的是，有些初始条件不一定是直接给出的，而是在解题过程中可能得到的。

(6)写出模型:写出由微分方程和初始条件组成的常微分方程初值问题模型。

(7)求解初值问题:求初值问题的解并给出答案。

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