trival 黎曼说：我有个猜想。

七个千年拼图，奖励100万美元

黎曼猜想自千禧年以来悬赏100万美元，最近又火了。这100万美元，被数学家戏称为当今世界上最困难的100万美元。

89岁的英国数学大师阿蒂亚爵士是菲尔兹奖和阿贝尔奖的获得者，也是英国皇家学会的前主席。

他在9月24日海德堡数学与计算机科学国际获奖者论坛上做了一个报告，称自己破解了黎曼猜想，但结果还有待大牛验证，可能至少要几个月才能知道。

英国数学家阿蒂亚爵士在海德堡的一个论坛上发表了讲话

1“四个数学猜想”

黎曼猜想是希尔伯特在1900年提出的二十三个数学问题中的第八个。但是能把黎曼猜想解释清楚的人并不多。

相对于初中生，至少能理解题目的“三猜想”，黎曼猜想的命题本身也不是一般人能理解的，所以很难推广。

但从重要性来看，黎曼猜想绝对可以称之为四大数学猜想，甚至可以称之为比肩。我只做了一张图，可以清晰的看到四个数学猜想之间关系的现状。

四个数学猜想之间关系的现状(简称F4)

四色猜想：由美国数学家Appel与Haken借助计算机完成，遂称四色定理。费马猜想：1995年由英国数学家Wiles证明，现在叫费马大定理。哥德巴赫猜想：中国数学家陈景润的“陈式定理”（俗称“1+2”），距离其最终证明“1+1”还差“最后一步”。黎曼猜想：Atiyah爵士正在小黑屋鏖战中，胜负难料。

在Atiyah与黎曼战斗的同时，我们简单回顾一下黎曼猜想是什么。

黎曼猜想:拒绝接受证据

2必须从zeta函数开始

首先我们来看ζ(ζ函数:

ζ函数(ζ函数)

显然，这是一个无穷级数。比如s=2时，这个无穷级数的和是π^ 2/6，这是大数学家欧拉计算出来的。其实这个函数形式最早是欧拉提出的。

无穷级数ζ (2) = π 2/6

如果继续代入s=3，s=4，你会发现这个无穷级数的和越来越接近1。为什么？因为分母的幂越大，收敛越快！

只要s是正整数或>:我们就可以理解为实数1，因为如果这个级数收敛，总是可以计算出一个极限值。

即使s=0.5，也相当于分母的平方:ζ(0.5) = 1/1+1/1.414+1/1.732+…。虽然和不收敛，但是每个项都是递减的，很好理解。

但是如果s

所有自然数之和等于-1/12吗？

3冲出实数去找复数

黎曼作为复分析的鼻祖，对此不满意，在实数范围内使用了ζ函数。他想把ζ函数推广到复数域！

如果ζ(s)的s从实数域扩展到复数域会发生什么？

比如s=2+i，好像没见过2+i次方的数！

没关系，复数无非是分裂成实部和虚部，变成一个有模有向的向量。

n的2+i次方可以分为两部分:“n的2次方”和“n的I次方”。

例如，2+i的1/2次方可以分为实部和虚部。实部负责确定长度(1/2×1/2=1/4)，虚部负责转动角度，实际上是为了得到一个矢量。

图中的红点是2+i次方的1/2所在的位置。由于e^bi = cosb+isinb，(1/2) I等于e(ln 0.5)I = cosln 0.5+isiln 0.5≈0.77-0.64 I

然后乘以1/4，就是这个结果。

计算复指数函数的实部和虚部的一个例子

只要我们能理解复数的力量，更神奇的事情就来了。

对于ζ函数的级数，等价于首尾角度相同的向量的无限拼接，就像植物天线的生长过程。

你还记得鹦鹉螺吗？

鹦鹉螺和鹦鹉螺旋

不懂？没关系，比如s=1.5-i，ζ(1.5-i)的结果如下图所示:

ζ函数的可视化求解过程

需要注意的是，ζ函数只有在s >: 1收敛时才起作用，即触须会无限靠近某一点。

要收敛ζ函数，s >:1

4大数据必须可视化

如果我们把s=1线右半部的每个S点移动到对应的天线点，即ζ(s)，就可以得到ζ函数的坐标变换。【预警！！！大脑在燃烧]

s >中的黎曼ζ函数:1段坐标变换过程图

在变换之前，横线和竖线几乎都被黑洞状的(10i)点吸进去，然后吐出波浪线的圆圈。

这种无缝转换过程体现了数学在治疗强迫症方面的强大功效。但是等等……...像黎曼这样的数学大师的强迫症，远不是你我能猜到的。

他觉得变换后的画面好像是s=1/2处剪的，不完整。如果我们盯着两条黄线s = i，变换后的形状是两条不完整的波浪弧，如下图所示。

ζ函数的不完全性

5数学媒人:分析延伸

你感觉到你的心空坠落了吗(la)？你不想把它做成一个完整的花生壳吗？你不觉得它一定有一个失散多年的伙伴吗？

极度强迫症的黎曼实在受不了，于是做了一对数学长辈，帮助ζ函数找到完美的另一半。(请注意以1/2为界的左右两边不对称)

黎曼ζ函数:复域中解析延拓后的ζ函数

将对象引入单个函数的过程称为扩展。注意不是拖延症。

鹅，介绍一个完美的对象不是那么容易的。一不小心就会碰到下图的歪瓜烂枣，歪瓜烂枣种类无穷。

非解析延拓后ζ函数的图示

黎曼的单函数引入对象的方法有唯一的解，这种方法肯定能找到注定是唯一的另一半。真的有那么神奇吗？

黎曼的延拓方法叫做解析延拓，而且只有一个要求:延拓后的复变函数可以处处导出。根据这个唯一的要求，我们可以为单一的功能找到唯一完美的对象。

如果复数域的求导很难理解，还有一种几何直观的理解方法，几乎等同于处处求导，也称为解析延拓的保角性质。即:

对于任意一对相交线A和B，延伸前后夹角∠ab不变。

除交点导数为0的点外，延迟后的角度乘以整数倍。

这其实是一种很强的约束，因为我们都能体会到满足“任意”这个词是多么任性！

如果你不信，我们可以查一下，垂直的实轴和虚轴都是垂直的，解析延拓后还是垂直的，如下图所示。

零点在哪里？

所有自然数之和等于-1/12的梗，其实也就是说ζ函数经过解析延拓变换后，点(-1，0)会落在点-1/12上。

当然，短语“-1/12”除了学位服“13”之外没有任何意义。但是，如果把黎曼ζ函数当作求解一元二次方程的惯用方法，就会发现问题会变得非常困难。

解黎曼ζ方程，意思是求所有S值，这样当s=？，ζ(s)= 0。

如果用视觉表达，就是变换后哪些点会落在原点上。

黎曼ζ函数零点(ζ(s)=0)的解在哪里？

黎曼函数ζ(s)=0有无穷多个解，但大致可以分为两类。

一个是正则的，都是负偶数。因此，数学家轻蔑地给这些零取了一个名字，叫做繁琐零。

黎曼ζ函数的常零点

第二类比较棘手，很难找出什么规律。黎曼之前的数学家认为，这些解应该都落在解析延拓的临界区，即实部0到1。黎曼认为它对数学来说太不精确和幼稚。

黎曼ζ函数所有非平凡零点的位置

在一篇8页的论文中，他轻描淡写地提出了一个小猜想:解析扩展黎曼ζ函数ζ(s)的非平凡零点都落在s=1/2线上。

这就是伟大的黎曼猜想。

但是说起来容易做起来难。非平凡零点杂乱无章，它们的计算非常困难。黎曼自己只算出来了。

1/2临界线穿越原点轨迹图

直到二战后，人工智能之父图灵才利用他发明的计算机计算出1104个非平凡的零。

图灵时代数学界对黎曼猜想的态度是悲观的，思路是证伪，即寻找一个不在1/2线上的非常零点。

随着计算机技术的发展，2004年8月，已经达到8500亿元。但是鹅很多，证明猜想不是很有用。但至少现在很少有人想推翻黎曼猜想。

7和质数是怎么相处的？

看到这里，可能有人会失望:“我的XX是X，你给我看看这个好吗？”

英雄们，请留下。最糟糕的来了！

只要能找到黎曼ζ函数的所有非平凡零点，就能找到所有素数！

但也许你只是想弱弱地问一句:一个复复解析函数与素数分布有什么联系？

答案:通过欧拉积公式！欧拉乘积公式用所有自然数神奇地约束了所有素数，抓住了素数分布的龙的尾巴。

这个公式的证明可以写在一页ppt里，类似于数学归纳法的套路，在我们的能力范围之内。

产品配方的验证过程

其实在黎曼之前，ζ函数叫做欧拉ζ函数。所以ζ有两个等价表达式:自然数和质数:

ζ函数的两个等价表达式:自然数与素数

现在看清楚了。黎曼实现了黎曼ζ函数与素数分布的关系。

你说得对。如果说黎曼是数学上的老人，那么欧拉就是数学上的王婆，集合了西门庆(ζ函数)和潘金莲(质数)。

黎曼的8页论文给全世界的数学家下了一个咒语，题目是《论小于给定数的素数》。

只要有小于给定数的素数个数的公式，就可以知道给定数是不是素数。这个函数一般写成π(x)。例如，π(20)表示小于20的素数个数，π(20)=8。

如果我们把π(x)函数画成阶跃函数，当π (x+δ x)-π (x) = 1上一个阶跃时，那么这个x就是素数。

高斯和勒让德分别发现素数在n处的分布密度近似符合自然对数的倒数，即ρ(n)≈1/ln(x)。

也就是说在10000附近，每ln(10000)=9.2个数就会出现素数。当达到1，000，000时，每ln (1，000，000) = 13.8个数出现一次。

小于给定数的素数

你又是怎么和物理扯上关系的？

后来，数学家蒙哥马利在普林斯顿一次偶然的下午茶聚会上遇到了物理学家戴森。当他们聊天时，他们发现:

黎曼ζ函数非平凡零点在临界线上的统计分布可以用任意典型随机埃尔米特矩阵的特征值分布来描述。

从此，黎曼猜想对应了量子力学体系的能级谱，数学和物理结下了大婚，这也是2018年9月24日Atiyah爵士论证的主要思路。

至于Atiyah爵士说的，我会把原文贴在最后，原文不长，只有五页。自己看吧。我只是个业余爱好者。该洗洗睡了。

文章中的大部分截图来自一个非常强大的视频。感谢作者3Blue1Brown的努力，腾讯视频链接如下:

看到这个的读者

他们都是真正的勇士

二郎夸你

必须给你一本书

卢昌海《关于黎曼猜想的漫谈》，清华大学出版社

2018年10月5日星期五晚上20点结束