高中高一数学 @新高一预习：高中数学必修一知识点总结

第一章

[1.1]收藏

【1.1.1】集合的意义和表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有确定性、异质性和无序性。

(2)普通数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集。

(3)集合与元素的关系

(4)集合的表示

(1)自然语言法:以文字的形式描述一个集合。

②枚举法:将集合中的元素一一枚举，用大括号写出来表示集合。

③描述:{x|x有属性}，其中x是集合的代表元素。

(4)图解法:用数轴或韦恩图表示集合。

(5)集合的分类

①有有限元的集合称为有限集合；②具有无限元素的集合称为无限集合；③没有任何元素的集合称为空集合。

【1.1.2】集合之间的基本关系

(6)子集、真子集和集合相等

(2)一维二次不等式的求解

(3)在求函数的定义域时，我们一般遵循以下原则:

(1)当f (x)是代数表达式时，定义域全是实数。

②当f (x)为分式函数时，定义域为分母不为零的所有实数。

(3)当f (x)为偶数根时，开模式非负时域为一组实数。

④对数函数的实数大于零。当对数或指数函数的基数包含变量时，基数必须大于零且不等于1。

⑥零(负)指数幂的基数不能为零。

⑦如果f(x)是有限个基本初等函数的四次运算合成的函数，那么它的定义域一般是每个基本初等函数的定义域的交集。

⑧解决复合函数的定义域问题，一般步骤是:如果f(x)的定义域已知为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域要用不等式a≤g(x)≤b来求解.

⑨对于带字母参数的函数，找到其定义域，根据问题的具体情况对字母参数进行分类讨论。

⑩一个实际问题所确定的函数的定义域，不仅使函数有意义，而且符合问题的实际意义。

(4)求函数的值域或最大值

求函数最大值的常用方法与求函数值域的方法基本相同。事实上，如果函数范围内有一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。所以求一个函数的最大值和最大值域的本质是一样的，只是提问的角度不同。求函数范围和最大值的常用方法有:

①观察方法:对于简单的函数，我们可以通过观察直接得到取值范围或最大值。

②匹配法:将分辨率函数转化为自变量和常量的平坦模式之和，然后根据变量的取值范围确定函数的取值范围或最大值。

④不等式方法:利用基本不等式确定一个函数的值域或最大值。

⑤代换方法:通过变量代换，达到化繁为简，化难为易的目的。三角代换可以将代数函数的最大值问题转化为三角函数的最大值问题。

⑥反函数法:利用函数及其反函数的值域与值域的倒数关系，确定函数的值域或最大值。

⑦数形结合法:利用函数图像或几何方法确定函数的值域或最大值。

⑧函数的单调性方法。

[1.2.2]功能表示

(5)函数的表示

常用的表示函数的方法有三种:解析法、列表法、镜像法。

分析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。列表法:列表表用来表示两个变量之间的对应关系。形象法:用形象来表达两个变量之间的对应关系。

(6)映射的概念

③对称变换

(2)地图的识别

对于给定的一个函数的图像，要从图像的左右、上下范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、范围、单调性、奇偶性，注意图像与分辨率函数中参数的关系。

(3)使用图片

函数图像形象地展示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性。是探索解决问题的途径，获得问题结果的重要工具。要注意数形结合解决问题的思想方法。

第二章基本初等函数(ⅰ)

[2.1]指数函数

【2.1.1】指数和指数幂的运算

(1)激进的概念

【2.1.2】指数函数及其性质

(4)指数函数

[2.3]功能

(1)幂函数的定义

一般把函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数。

(2)幂函数图像

(3)幂函数的性质

①图像分布:幂函数图像分布在第一、二、三象限，第四象限无图像。幂函数为偶数时，图像分布在第一象限和第二象限(图像为轴对称)；当是奇数函数时，图像分布在第一象限和第三象限(图像关于原点对称)；当它是非奇数和非偶数函数时，图像仅分布在第一个图像中

②过定点:所有幂函数定义在(0，+∞)，图像通过点(1，1)

③单调性:如果a >: 0，则幂函数的图像穿过原点，在[0，+∞)上是增函数。如果a

【补充知识】二次函数

(1)二次解析函数的三种形式

(2)求二次分解函数的方法

①已知三点坐标时，应采用通式。

②已知抛物线顶点坐标与对称轴或最大(最小)值有关时，常使用顶点。

③如果已知抛物线与X轴有两个交点，且水平坐标已知，则选择两个公式求f(x)更方便。

(3)二次函数图像的性质

一维二次方程的根的分布是二次函数的重要组成部分。这部分知识虽然涉及到初中代数，但并不系统完整，求解方法侧重于二次方程的根的判别和根与系数关系定理(vieta定理)的应用。基于二次函数图像的性质，系统地分析了一维二次方程实根的分布。

⑥ K1 < X1 < K2 ≤ P1 < X2 < P2可以直接从⑤推导出来。

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